Sous-corps exotique de R
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, un sous-corps exotique de est un sous-corps indénombrable strict de construit à l'aide du lemme de Zorn (et donc de l'axiome du choix).
[modifier] Exemple
Soit E l'ensemble des sous-corps de ne contenant pas . E est non vide (car il contient par exemple ) et ordonné (partiellement) par l'inclusion. On vérifie aisément que c'est alors un ensemble inductif. D'après le lemme de Zorn, il possède donc un élément maximal K. La maximalité de K permet de montrer que l'extension est algébrique; l'extension l'est donc également, ce qui entraîne que K est indénombrable. Enfin, K est un sous-corps strict de car il ne contient pas . est strictement inclus dans K et envoyant sur serait un automorphisme de corps de autre que l'identité, ce qui est absurde.