Série télescopique

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En analyse, les séries télescopiques désigne informellement les séries dont les termes s'annulent de proche en proche. Cette technique est aussi appelée méthode des différences successives.

Si (an) est une suite, la série télescopique correspondante est la série de terme général an + 1 − an. La convergence de la série télescopique équivaut à la convergence de la suite (an) :

\sum_{k=0}^{n-1}\left[a_{k+1}-a_k\right]=a_n-a_0.

[modifier] Exemples

  • Premier exemple :
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)\,
= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots\,
= 1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots = 1. \,


  • De nombreuses fonctions trigonométriques admettent une représentation comme différence permettant un télescopage :
\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right)
=\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right)
=\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right).