Série des inverses des nombres premiers

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En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est définie par

$\forall n \in \N,\ \sum_{i=1}^n \frac{1}{p_i};$

où $p i$ désigne le $i$ -ème nombre premier.

Comme il existe une infinité de nombres premiers, cette suite n'est pas constante à partir d'un certain rang. Mais cependant, elle n'est pas convergente pour autant. Et comme elle est strictement croissante, cette suite diverge vers l'infini.

[modifier] Preuve par l'analyse

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un nombre entier suffisamment grand $i 0$ tel que:

$\sum_{i=i_0}^\infty \frac{1}{p_i}< \frac{1}{2}.$

Définissons $N (x)$ comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à $x$ et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les $i 0$ premiers. Un tel entier peut être écrit sous la forme $k m 2$ où $k$ est entier sans facteur carré.

Puisque seulement les $i 0$ premiers nombres premiers pourraient diviser $k$ , il y a au plus $2 i$ choix pour $k$ . Conjointement avec le fait qu'il y a au plus $\sqrt{x}$ valeurs possibles pour $m$ , cela nous donne:

$N(x) \leq 2^{i_0}\sqrt{x}.$

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à $x$ et divisibles par un nombre premier différent des $i 0$ premiers est égal à $x - N (x)$ .

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à $x$ et divisible par $p$ est au plus $x / p$ , nous obtenons:

$x - N(x) < \sum_{k=1}^\infty{x\over p_{i+k}} < {x \over 2};$

ou encore

${x \over 2} < N(x) \le 2^{i_0}\sqrt{x}.$

Mais cela est impossible pour tout $x$ supérieur à $2^{2i_0+2}$ . D'où une contradiction.

[modifier] Preuve par un produit eulérien

Article détaillé : produit eulérien.

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Comme on a l'équivalence

$\log\left( \frac{1}{1-p_i^{-1}} \right) \sim \frac{1}{p^i};$

on en déduit que

$\prod_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{1-p_i^{-1}};$

converge vers un réel $\ell$ . D'après le produit eulérien, on a

$\forall s>1,\ \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}=\prod_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{1-p_i^{-s}} \leq \prod_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{1-p_i^{-1}}=\ell.$

Une comparaison série-intégrale montre que lorsque $s \rightarrow 1^+$ , on a l'équivalence

$\zeta(s) \sim \frac{1}{s-1};$

donc

$\zeta(s) \underset{ s \rightarrow 1^+}{\rightarrow} +\infty;$

ce qui est absurde.

[modifier] Voir aussi

Nombre premier
Le théorème de Brun : la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge

[modifier] Liens externes

Chris K. Caldwell: «Il existe une infinité de nombres premiers, mais, quelle est la grandeur de cet infini ?», http://www.utm.edu/research/primes/infinity.shtml