Représentation adjointe

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Tout groupe de Lie connexe G admet une représentation naturelle, appelée représentation adjointe dont l'introduction est liée à la définition de son algèbre de Lie. La forme bilinéaire associée est la forme de Killing.

À tout élément x de G est associé l'automorphisme intérieur $ι x$ défini par : $ι x (y) = x y x - 1$ . Cette application est un automorphisme de groupe de Lie. Sa différentielle en l'élément neutre est une application linéaire $ad(x):\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}$ où $\mathfrak{g}$ désigne l'espace tangent de G en son élément neutre. L'application $ad:G\rightarrow GL(\mathfrak{g})$ est un morphisme de groupes de Lie : c'est la représentation adjointe.

$ad:G\rightarrow GL(\mathfrak{g})$ .

Régularité de ad

Si G est un groupe de Lie $C^{\infty}$ , l'application ad est différentiable. En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation $G\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}:(g,v)\mapsto ad(g)v$ est différentiable. Mais par définition de ad, c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de $G\times G\rightarrow G:(x,y)\mapsto xyx^{-1}$ .

En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.

La représentation adjointe sert notamment à définir une structure d'algèbre de Lie sur $\mathfrak{g}$ . La différentielle de la représentation adjointe en l'élément neutre fournit une application différentiable :