Repère projectif

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Un espace projectif de dimension n se repère par n + 2 points.

(Pour les définitions, voir Géométrie projective).

Intuitivement, on veut repérer un point de l'espace projectif en se donnant un point de l'espace vectoriel de dimension n + 1 associé. On veut donc choisir une base (e1,...,en + 1) de cet espace, et considérer les points (p1,...,pn + 1) = (π(e1),...,π(en + 1)) comme un repère de l'espace projectif. Ayant les coordonnées (x1,...,xn + 1) dans ce repère, on considèrerait alors le vecteur x = x_1 \cdot e_1 + ... + x_{n+1} \cdot e_{n+1} qui définit un unique point π(x) dans l'espace projectif. L'erreur de l'argument ci-dessus est que lorsque l'on ne connaît que le repère projectif (p1,...,pn + 1), on ne peut pas retrouver les vecteurs (e1,...,en) qui l'avaient défini, mais seulement des vecteurs de la forme \tilde e_1 = \lambda_1 \cdot e_1, ..., \tilde e_{n+1} = \lambda_{n+1} \cdot e_{n+1}. Si l'on considère le nouveau vecteur \tilde x = x_1 \cdot \tilde e_1 + ... + x_{n+1} \cdot \tilde e_{n+1} = x_1 \lambda_1 \cdot e_1 + ... + x_{n+1} \lambda_{n+1} \cdot e_{n+1}, celui-ci n'a aucune raison d'être colinéaire à x, et donc de donner le même point de l'espace projectif après projection, sauf si tous les λi sont égaux. L'idée est donc alors d'adjoindre aux points (p1,...,pn + 1) une contrainte, qui peut également se voir comme un point de l'espace projectif, obligeant tout choix de vecteurs \tilde e_1, ..., \tilde e_{n+1} comme ci-dessus à vérifier λ1 = ... = λn + 1. Pour cela, on impose une contrainte sur la somme \tilde e_1 + ... + \tilde e_{n+1} qui doit être colinéaire à la somme e1 + ... + en + 1 choisie initialement. Il est alors facile de voir que cela implique la contrainte recherchée. Il suffit donc d'adjoindre aux pi le point pn + 2 = π(e1 + ... + en + 1), et alors tout choix de \tilde e_1, ..., \tilde e_{n+1} vérifiant \pi(\tilde e_1 + ... + \tilde e_{n+1}) = p_{n+2} permet de retrouver le point de l'espace projectif correpondant aux coordonnées (x1,...,xn + 1) comme indiqué ci-dessus.