Relation scalaire

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Une relation scalaire est une correspondance dont l' ensemble de départ est le carré cartésien d'un ensemble de base E. L' ensemble d'arrivée de cette correspondance est alors considéré comme un ensemble de scalaires S sur l'ensemble E.

[modifier] Définitions et exemples

Soient E un ensemble dont les éléments sont notés par des lettres latines minuscules ( x , y , z ,... ), et S un autre ensemble dont les éléments sont notés par des lettres grecques minuscules ( λ , μ , ν ,... ).

Une relation scalaire $\mathcal R \,$ de E dans S est une correspondance de E ² dans S :

$\exists\ G /\ \mathcal R = ( E \times E , S , G ) \wedge G \subseteq E^2 \times S \,$

Le graphe G de la relation scalaire $\mathcal R \,$ est parfois appelé graphe de E valué à valeurs dans S.

Les produits scalaires ou les distances sont des exemples de relations scalaires.

Un carré est un couple appartenant à la diagonale de E, c'est-à-dire un couple de la forme ( x , x ) où x appartient à E.

[modifier] Principales propriétés

$\mathcal R \,$ est dite fonctionnelle si tout couple de E ² a au plus une image par $\mathcal R \,$ , c'est-à-dire si :

$\forall\ ( x , y ) \in E^2 , \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 ,\ [ \ ( x , y ) \mathcal R \lambda \ \wedge \ ( x , y ) \mathcal R \mu \ ] \Rightarrow [ \ \lambda = \mu \ ] \,$

$\mathcal R \,$ est dite applicative si tout couple de E ² a au moins une image par $\mathcal R \,$ , c'est-à-dire si :

$\forall\ ( x , y ) \in E^2 , \exists\ \lambda \in S /\ ( x , y ) \mathcal R \lambda \,$

$\mathcal R \,$ est dite dévolutive si tous les carrés dans E ont une image commune par $\mathcal R \,$ , c'est-à-dire si :

$\exists\ \lambda \in S /\ \forall\ x \in E ,\ ( x , x ) \mathcal R \lambda \,$

$\mathcal R \,$ est dite commutative si chaque couple de E ² a ses images par $\mathcal R \,$ en commun avec son couple réciproque, c'est-à-dire si :

$\forall\ ( x , y ) \in E^2 , \forall\ \lambda \in S ,\ [ \ ( x , y ) \mathcal R \lambda \ ] \Rightarrow [ \ ( y , x ) \mathcal R \lambda \ ] \,$

[modifier] Relation opposée

La relation scalaire opposée à la relation scalaire $\mathcal R \,$ est la relation scalaire notée « - $\mathcal R \,$ » définie par :

$\forall\ ( x , y ) \in E^2 , \forall\ \lambda \in S ,\ [ \ ( x , y ) ( - \mathcal R ) \lambda \ ] \Leftrightarrow [ \ ( y , x ) \mathcal R \lambda \ ] \,$

Toute relation scalaire est l'opposée de son opposée.

Une relation scalaire se confond avec son opposée ssi elle est commutative.

[modifier] Relations inverses

Toute relation scalaire a une et une seule RTIG (relation ternaire inverse à gauche) , notée « $\lceil \mathcal R \,$ » , et définie par :

$\forall\ ( x , y ) \in E^2 , \forall\ \lambda \in S ,\ [ \ ( \lambda , x ) ( \lceil \mathcal R ) y \ ] \Leftrightarrow [ \ ( y , x ) \mathcal R \lambda \ ] \,$

Toute relation scalaire a une et une seule RTID (relation ternaire inverse à droite)) , notée « $\mathcal R \rceil \,$ » , et définie par :

$\forall\ ( x , y ) \in E^2 , \forall\ \lambda \in S ,\ [ \ ( \lambda , x ) ( \mathcal R \rceil ) y \ ] \Leftrightarrow [ \ ( x , y ) \mathcal R \lambda \ ] \,$