Discuter:Relation (mathématiques)

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QUelle autre type il y a t'il de realtion?

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[modifier] Logique floue et relation binaire =

Je me demande si les trucs de logique floue vont avec directement là, parce qu'en fait toutes les autres définitions dans l'article n'en tiennent pas compte.

Je n'y connais rien, donc je ne sais pas s'il y a moyen de tout mettre dans un super-article synthétique, ou si on a intérêt à les séparer dans des pages.

Ca me rappelle vaguement un truc que j'ai lu dans le livre "Sheaves in Geometry and Logic", de Saunders MacLane et Ieke Moerdijk (livre que je n'ai que feuilleté)....

Tarquin, apparemment c'est toi qui t'y connais?

Snark 21:05 jan 25, 2003 (CET)


T'as raison, ca complique trop tot. D'un autre cote, on definit seulement les relations binaires (on peut dire "binaire" ici? ;-) A quelle point devrait-t-on parler de generalisations? -- Tarquin 12:10 jan 26, 2003 (CET)

Est-ce que les relations (au moins celles dont le résultat est oui/non) ne sont pas engendrées par les relations binaires? Il y a des histoires de formes normales en logique; mais là encore, ça irait plutôt dans une page 'opérateurs logiques' que dans les relations en mathématiques...

Au fait "fuzzy logic" ça doit pouvoir se traduire par "logique floue". Je ne connais rien au sujet, je serai ravi de lire ce que tu peux en raconter!

Snark 12:36 jan 26, 2003 (CET)

je pense qu'il faudrait ajouter le terme "binaire" dans les definitions.

Pour les formes normales cela a plus trait aux fonctions booleennes qu'au relation.

Pour savoir si les relations binaires engendre les relations d'arites superieurs , tant que le nombre d'operandes est fini c'est clair. Pour le cas infini je ne sais pas si la notion de relation est utilisee.

Et sur le quotient selon une relation qui est tout de meme une utilisation frequente bien que le plus souvent cache sous le tapis de la notion de relation

Dtcube

[modifier] Algèbre abstraite

Pourquoi "algèbre abstraite" : ça se dit vraiment en français, ou c'est un angliscisme (j'ai l'impression de le voir partout dans Wikipédia, et de fait il est partout dans en:W) ?

Honnêtement, l'algèbre c'est toujours abstrait... C'est vrai que ça fait bizarre, c'est peut-être plutôt de l'"algèbre élémentaire" ou autre...
Snark 12 avr 2003 à 10:53 (CEST)

[modifier] un petit doute - quelqu'un pourrait confirmer ou infimer ?

Une relation antisymétrique ça serait pas R \cap R \subset \Delta_E plutôt que R \cup R = \Delta_E comme le dit l'article ?

Merci de vos éclaircieements. Dévilès °o° 24 déc 2004 à 06:42 (CET)

Je pense que tu as raison. Bien que la page soir en cours de fusion/refonte, je le corrige car on risquerait de l'oublier après. --Aldoo / ✉ 29 déc 2004 à 15:00 (CET)

[modifier] Refonte

Après le transfert des informations de cette page vers Relation binaire (pour fusion), je souhaiterais garder Relation (mathématiques) pour développer le concept de relation n-aire.

Ce que je voudrais, c'est qu'on se mette d'accord sur les définitions.

Personnellement, j'aime bien celle qui est donnée sur la version anglophone de cette page : relation typée entre n ensembles (éventuellement différents). Une relation n'est pas simplement donnée par son graphe (c'est à dire une partie du produit cartésien de ces n ensembles), mais aussi par la donnée de ces ensembles. En effet, la donnée du graphe ne permet pas de dire si la relation est surjective, ou même réflexive. Il est donc utile de donner le type de la relation (les ensembles concernés), comme on le fait pour la définition de fonction.

Remarquons aussi que les définitions usuelles d'un graphe dans la théorie des graphes précisent aussi l'ensemble des nœuds de ce graphe, voir même aussi l'ensemble des arcs. Il s'agira de ne pas confondre ces définitions « fortement typées » avec la définition usuelle d'un graphe en mathématiques (graphe d'une fonction, graphe d'une relation), qui est juste un ensemble de n-uplets (partie d'un produit cartésien à n termes).

Pour revenir aux relations, le problème, c'est que dans nombre de pages (à commencer par relation binaire, mais aussi dans relation d'équivalence par exemple), on considère qu'une relation est juste la donnée de son graphe, et qui plus est, on considère qu'une relation binaire met toujours en relation deux éléments d'un même type (alors qu'on pourrait se permettre une relation de A \times B où A et B sont des ensembles).

Autre piste : serait-il pertinent aussi de considérer des relations qui ne soient pas sous-ensemble d'un produit cartésien, mais qui puissent mettre en jeu un nombre variable d'éléments ? (par exemple, définir une relation sur E comme un sous-ensemble de 2E).

J'aimerais bien avoir vos avis.

--Aldoo / ✉ 29 déc 2004 à 14:49 (CET)

[modifier] Commentaires transférés de relation binaire

Définir, surtout formellement, une relation binaire comme sous-ensemble du produit cartésien de deux ensembles conduit à des incohérences.

En effet, considérons par exemple deux ensembles A et B tels que A soit une partie stricte de B. Le carré cartésien AxA est alors une partie de BxB :

\forall A \forall B ((A \subset B) \Rightarrow (A\times A \subset B\times B))

Considérons alors une relation binaire réflexive dans A, par exemple Delta(A), diagonale de AxA, définie comme suit : \Delta(A) = \{ ( x, x) | x \in A \}.

Comme AxA est une partie de BxB, Delta(A) l'est aussi; c'est donc une relation binaire dans B. Mais, comme A est une partie stricte de B, il existe un élément b de B qui n'appartient pas à A, et (b, b) n'appartient donc pas à Delta(A) qui n'est donc pas réflexive...

Certains pourraient penser se sortir de cette contradiction en décrétant que les propriétés de Delta(A) dépendent de l'ensemble dans lequel la relation est plongée, donc qu'elle est réflexive dans A et non réflexive dans B, mais un tel énoncé est à son tour contradictoire avec l'axiome d'extensionalité de la théorie des ensembles, qui affirme que les propriétés d'un ensemble ne dépendent que de la liste de ses éléments et de rien d'autre (En fait, l'axiome d'extensionalité affirme simplement que si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont identiques, mais cela revient au même).

La seule solution consiste à modifier la définition des relations binaires de telle sorte qu'elle tienne compte de l'ensemble dans lequel la relation est placée. Dans notre exemple, cela implique alors que la relation binaire où Delta(A) est placée dans A n'est pas celle où Delta(A) est placée dans B. Si les deux relations sont différentes, elles peuvent avoir des propriétés différentes sans générer de contradiction.

Par ailleurs, si on parle de relation binaire, c'est que l'on suppose implicitement d'autres types de relations, par exemple ternaires... C'est pourquoi je crois qu'il faut réserver le terme de relation binaire au cas des carrés cartésiens, et employer un autre terme, par exemple correspondance, dans le cas général.

Nous aboutissons ainsi à un ensemble de définitions légèrement différent de celui proposé dans l'article, mais qui élimine incohérences et sources de confusion :

- une correspondance est un triplet d'ensembles tel que le troisième ensemble du triplet soit un sous-ensemble du produit cartésien du premier ensemble du triplet par le deuxième; en d'autres termes, si E et F sont deux ensembles :
(\mathfrak{C}\ est\ une\ correspondance\ de\ E\ dans\ F) \Leftrightarrow (\exists G\ /\ (\mathfrak{C} = (E, F, G))\wedge(G \subseteq E\times F))
E est l'ensemble de départ de la correspondance, F son ensemble d'arrivée et G son graphe.
- une relation est alors une correspondance dont l'ensemble de départ est soit une puissance cartésienne de l'ensemble d'arrivée (relations internes), soit le produit cartésien d'un ensemble dit de scalaires par une telle puissance (relations externes); en d'autres termes, si E et S sont deux ensembles :
(\mathfrak{R}\ est\ une\ relation\ interne\ dans\ E) \Leftrightarrow (\exists n \in\mathbb{N}\ ,\exists G\ /\ (n\geq 2)\wedge (\mathfrak{R} = (E^{n-1}, E, G))\wedge(G \subseteq E^n))
(\mathfrak{R}\ est\ une\ relation\ externe\ de\ S\ dans\ E) \Leftrightarrow (\exists n \in\mathbb{N}\ ,\exists G\ /\ (n\geq 3)\wedge (\mathfrak{R} = (S \times E^{n-2}, E, G))\wedge(G \subseteq S \times E^{n-1}))
n est appelé arité de la relation qui est alors dite n-aire. Ainsi :
- une relation binaire est une correspondance dont les ensembles de départ et d'arrivée sont les mêmes; en d'autres termes, si E est un ensemble :
(\mathfrak{R}\ est\ une\ relation\ binaire\ dans\ E) \Leftrightarrow (\exists G\ /\ (\mathfrak{R} = (E, E, G))\wedge(G \subseteq E\times E))
- une relation ternaire interne est une correspondance dont l'ensemble de départ est le carré cartésien de l'ensemble d'arrivée; en d'autres termes, si E est un ensemble :
(\mathfrak{R}\ est\ une\ relation\ ternaire\ interne\ dans\ E) \Leftrightarrow (\exists G\ /\ (\mathfrak{R} = (E\times E, E, G))\wedge(G \subseteq E^3))
- une relation ternaire externe est une correspondance dont l'ensemble de départ est le produit cartésien d'un ensemble S de scalaires par l'ensemble d'arrivée; en d'autres termes, si E et S sont deux ensembles :
(\mathfrak{R}\ est\ une\ relation\ ternaire\ externe\ de\ S\ dans \ E) \Leftrightarrow (\exists G\ /\ (\mathfrak{R} = (S\times E, E, G))\wedge(G \subseteq S\times E^2))

Il demeure ensuite tout à fait possible d'assimiler par abus de langage les relations à leur graphe, à condition que cet abus soit explicité (ce qui suppose qu'il ne figure pas dans la définition même des relations) et que toute ambiguïté sur l'ensemble de départ utilisé soit évitée...