Réseau de Bravais

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En cristallographie, un réseau de Bravais est une distribution régulière de points dans l’espace qui représente la périodicité de la distribution atomique d’un cristal. Les points, également appelés nœuds, donnent la périodicité de la distribution atomique du cristal.

Formellement, un réseau de Bravais en dimension n est défini comme l'ensemble des vecteurs {m₁a₁ + m₂a₂ + ... + m_na_n}, où m₁, ..., m_n appartiennent à Z et où les vecteurs de base du réseau a₁, ..., a_n sont n vecteurs linéairement indépendants. Les paramètres du réseau sont constitués des longueurs a₁, ..., a_n et des angles entre les vecteurs de base du réseau.

La périodicité engendre un groupe de symétrie constitué des opérations de translation et rotation laissant le réseau de Bravais invariant. Un sous-groupe est défini par les translations selon un vecteur du réseau. Si le nombre de réseaux est infini, puisqu'à chaque valeur des paramètres il correspond un réseau différent, le nombre de types de réseaux est fini, le type d'un réseau étant défini par son groupe de symétrie. On dénombre ainsi 5 types de réseau de Bravais dans l'espace bidimensionnel et 14 types dans l'espace tridimensionnel.

Lorsqu'il existe dans un cristal une invariance par rotation, on dit qu'il existe un axe de symétrie d'ordre 2, 3, 4 ou 6, selon que la rotation en question corresponde respectivement à un angle de ± 180°, ± 120°, ± 90° ou ± 60°. L'étude des réseaux de Bravais à l'aide de la théorie des groupes a montré que dans les espaces bidimensionnel et tridimensionnel il n'existe pas de cristal ayant un axe de symétrie d'ordre 5. Ceci n'est plus vrai si la périodicité de la distribution atomique n'est pas parfaite, comme c'est le cas dans un quasi-cristal.

Un réseau étant infini, il est décrit par une maille, qui représente l’unité par répétition infinie de laquelle le réseau est obtenu. Le choix de la maille n’est pas unique, chaque réseau pouvant en principe être décrit par une infinité de mailles différentes ; toutefois, deux types de mailles sont utilisés le plus souvent : la maille primitive (ou élémentaire) et la maille conventionnelle. Les cristaux dont les mailles conventionnelles sont transformées l'une en l'autre en ajoutant ou supprimant des nœuds soit au centre des faces, soit à l'intérieur du volume de la maille, appartiennent à la même famille cristalline.

Sommaire 1 Espace unidimensionnel 2 Espace bidimensionnel 2.1 Famille cristalline monoclinique 2.2 Famille cristalline orthorhombique 2.3 Famille cristalline tétragonale (quadratique) 2.4 Famille cristalline hexagonale 3 Espace tridimensionnel 3.1 Famille cristalline triclinique 3.2 Famille cristalline monoclinique 3.3 Famille cristalline orthorhombique 3.4 Famille cristalline tétragonale (quadratique) 3.5 Famille cristalline hexagonale 3.6 Famille cristalline cubique 4 Réseau centré ou maille centrée? 5 Note historique 6 Notes

[modifier] Espace unidimensionnel

Dans l’espace à une dimension, il ne peut exister qu’un seul type de réseau, qui consiste en une répétition périodique de nœuds le long de la seule direction existante, indiquée comme axe a. La distance entre deux nœuds est le paramètre a.

Réseau de l'espace unidimensionnel.

[modifier] Espace bidimensionnel

Dans l’espace à deux dimensions, la maille conventionnelle peut être primitive (p ) ou centrée (c ). Les axes sont indiqués par les lettres a et b, l’angle inter-axial est appelé γ. Cinq types de réseaux existent dans cet espace, qui sont indiqués par la lettre correspondante à la famille cristalline, suivie par le mode de réseau (en minuscule).

[modifier] Famille cristalline monoclinique

Dans la famille cristalline monoclinique, il n’existe aucune restriction sur les paramètres. Un seul type de réseau existe dans cette famille : mp (monoclinique primitif).

Réseau monoclinique primitif de l'espace bidimensionnel.

[modifier] Famille cristalline orthorhombique

Dans la famille cristalline orthorhombique γ = 90°. Deux types de réseau existent dans cette famille : op (orthorhombique primitif) et oc (orthorhombique centré). Dans la figure qui montre la maille conventionnelle du réseau oc (rouge), quatre mailles primitives sont aussi visibles (noires).

Réseau orthorhombique primitif de l'espace bidimensionnel.

Réseau orthorhombique centré de l'espace bidimensionnel. La maille conventionnelle (rouge) et quatre mailles primitives (noires) sont montrées dans la figure.

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[modifier] Famille cristalline tétragonale (quadratique)

Dans la famille cristalline tétragonale^[1] a = b et γ = 90°. Un seul type de réseau existe dans cette famille : tp (tétragonal primitif).

Réseau tétragonal primitif de l'espace bidimensionnel.

[modifier] Famille cristalline hexagonale

Dans la famille cristalline hexagonale a = b et γ = 120°. Un seul type de réseau existe dans cette famille : hp (hexagonal primitif).

Réseau hexagonal primitif de l'espace bidimensionnel.

[modifier] Espace tridimensionnel

Les réseaux de l’espace tridimensionnel peuvent être obtenus à partir de ceux de l’espace bidimensionnel en ajoutant une troisième direction non-coplanaire. Les axes sont indiqués par a, b et c, les angles par α (entre b et c), β (entre a et c) et γ (entre a et b). Sept modes de réseau sont possibles, indiqués par une lettre majuscule :

• P : mode primitive, nœuds de réseaux seulement aux sommets de la maille ;
• A : un nœud de réseau au centre de la face A de la maille, définie par les axes b et c ;
• B : un nœud de réseau au centre de la face B de la maille, définie par les axes a et c ;
• C : un nœud de réseau au centre de la face C de la maille, définie par les axes a et b ;
• F : un nœud de réseau au centre de chaque face de la maille (la maille F est à la fois A, B et C) ;
• I : un nœud de réseau au centre du volume de la maille ;
• R : deux nœuds sur la diagonale majeure de la maille hexagonale.

La lettre S (une Seule paire de faces centrées) est aussi utilisée pour indiquer de manière collective les réseaux à une face centrée qui peuvent être transformés entre eux suite à un changement d’axes.

Quatorze types de réseaux existent dans cet espace, qui sont indiqués par la lettre correspondante à la famille cristalline suivie par le mode de réseau (en majuscule).

[modifier] Famille cristalline triclinique

Dans la famille cristalline triclinique il n’existe aucune restriction sur les paramètres. Un seul type de réseau existe dans cette famille : aP (anorthique primitif). La lettre t étant réservé à la famille cristalline tétragonale, on utilise a (anorthique, synonyme de triclinique).

Réseau triclinique primitif de l'espace tridimensionnel.

[modifier] Famille cristalline monoclinique

Dans la famille cristalline monoclinique deux angles sur trois (normalement choisis comme α et γ) sont droits. Deux types de réseau existent dans cette famille : mP et mC. La maille mC peut être transformée en mI avec un choix différent des axes.

Réseau monoclinique primitif de l'espace tridimensionnel.

Réseau monoclinique C de l'espace tridimensionnel et sa description alternative par une maille mI.

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[modifier] Famille cristalline orthorhombique

Dans la famille cristalline orthorhombique les trois angles sont droits. Quatre types de réseaux existent dans cette famille : oP, oS, oI et oF. Comme la symétrie de la maille conventionnelle n’impose aucune priorité sur les axes, les trois réseaux oA, oB et oC sont équivalents suite à un changement des axes et sont indiqué collectivement comme oS.

Réseau orthorhombique primitif de l'espace tridimensionnel.

Réseau orthorhombique à une face centrée de l'espace tridimensionnel. Les trois réseaux oA, oB et oC peuvent être transformé l'un en l'autre avec des choix différents des axes et sont indiqués collectivement comme oS.

Réseau orthorhombique à volume centré de l'espace tridimensionnel.

Réseau orthorhombique à toute face centrée de l'espace tridimensionnel.

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[modifier] Famille cristalline tétragonale (quadratique)

Dans la famille cristalline tétragonale^[1] a = b, α = β = γ = 90°. Deux types de réseau existent dans cette famille : tP (équivalent à tC ) et tI (équivalent à tF ).

Réseau tétragonal primitif de l'espace tridimensionnel. Le réseau tC est équivalent au réseau tP avec un choix différent des axes.

Réseau tétragonal à volume centré de l'espace tridimensionnel. Le réseau tF est équivalent au réseau tI avec un choix différent des axes.

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[modifier] Famille cristalline hexagonale

Dans la famille cristalline hexagonale a = b, α = β = 90°, γ = 120°. Deux modes de réseau existent dans cette famille : hP et hR.

Réseau hexagonal primitif de l'espace tridimensionnel.

Réseau rhomboédrique de l'espace tridimensionnel.

[modifier] Famille cristalline cubique

Dans la famille cristalline cubique a = b = c, α = β = γ = 90°. Trois modes de réseau existent dans cette famille : cP, cI et cF.

Réseau cubique primitif de l'espace tridimensionnel.

Réseau cubique à volume centré de l'espace tridimensionnel.

Réseau cubique à toute face centrée de l'espace tridimensionnel.

[modifier] Réseau centré ou maille centrée?

Un réseau, étant une distribution régulière de nœuds dans l’espace, n'est ni primitif ni centré. L’expression « réseau primitif / réseau centré » est en effet un abus de langage pour « réseau dont la maille conventionnelle est primitive / centrée ».

[modifier] Note historique

Les réseaux de l’espace tridimensionnel furent dérivés par Frankenheim en 1842, qui ne reconnut pas l’équivalence des réseaux mC et mI. Auguste Bravais en 1848 corrigea l’erreur, en fixant à 14 le nombre correct.

[modifier] Notes