Quaternions d'Hurwitz

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Sommaire

[modifier] Definition

[modifier] Quaternions

Soit \mathbb{A} un anneau. On definit l'algèbre des quaternions \mathbb{H}(\mathbb{A}) comme le \mathbb{A}-module libre engendré par 1, i, j et k, muni de la structure d'algèbre :

  • 1 élement neutre pour la multiplication
  • i^2=j^2=k^2=-1\,
  • et les identités:
    • i=j\cdot k=-k\cdot j\,
    • j=k\cdot i=-i\cdot k\,
    • k=i\cdot j=-j\cdot i\,

[modifier] Quaternions d'Hurwitz

Soit \mathbb{H}(\mathbb{Z}), l'algèbre des quaternions sur l'anneau \mathbb{Z}. On définit les Quaternions d'Hurwitz \tilde\mathbb{H}(\mathbb{Z}) comme suit:

\tilde\mathbb{H}(\mathbb{Z})=\mathbb{H}(\mathbb{Z}) \cup \left ( \frac{1+i+j+k}{2}+ \mathbb{H}(\mathbb{Z}) \right)

On peut aussi definir les Quaternions d'Hurwitz comme:

les Quaternions d'Hurwitz sont un sous-anneau de \mathbb{H}(\mathbb{R}), dont les éléments: a + b.i + c.j + d.k\, sont tels que 2a, 2b, 2c et 2d sont entiers ((2a,2b,2c,2d) \in \mathbb{Z}^4\,).

[modifier] Propriétés

Les Quaternions d'Hurwitz forment un anneau euclidien à gauche et à droite.

Un anneau \mathbb{A} est dit euclidien si

  • \mathbb{A}\, est intègre
  • \mathbb{A}\, est muni d'une division euclidienne i.e. il existe une application v telle que:

\begin{matrix} \forall a \in \mathbb{A}, \forall b \in \mathbb{A}-\left\{0\right\}, \exists (r,q) \in \mathbb{A}^2 \\ a=b\times q + r \wedge ( r=0 \vee v(r) < v(b) ) \end{matrix}

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