Primitives de fonctions rationnelles

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Hyperboliques réciproques




On suppose a≠0.

  • \int (ax+b)^n\,dx= \frac{1}{(n+1)a}(ax+b)^{n+1}+C (n ∈ ℤ\{-1})



  • \int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C


  • \int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx=\left\{\begin{matrix}\frac{2}{\sqrt{-(b^2-4ac)}}\operatorname{Arctan}\frac{2ax+b}{\sqrt{-(b^2-4ac)}} +C & \rm{\, si \,} & b^2-4ac<0\\ -\frac{2}{2ax+b} +C & \rm{\, si\,} & b^2-4ac=0\\\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\operatorname{argth}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} +C &\rm{\, si \,} & b^2-4ac>0\\\rm{ou} \frac{1}{\sqrt{b^2-4c}}\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| +C & \rm{\, idem} &\end{matrix}\right.


  • \int \frac{x}{ax^2+bx+c}\,dx=\frac{1}{2a}\ln |ax^2+bx+c|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx



Quand b2 − 4ac < 0, et pour n∈ℕ\{0,1} on a :

  • \int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx=

-\frac{2ax+b}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{2(2n-3)a}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,dx


Quand b2 − 4ac < 0, et pour n∈ℕ\{0,1} on a :

  • \int \frac{x}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx=

\frac{bx+2c}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)b}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,dx