Discuter:Primalité dans un anneau
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Le théorème 3 affirme que dans un anneau de Gauss il y a équivalence entre éléments premiers entre eux et éléments indissolubles. Si dans un sens c'est évident, est-ce bien exact aussi dans l'autre ("2 éléments premiers entre eux sont indissolubles entre eux") ?? Bien évidemment c'est vrai dans un anneau factoriel, mais dans le cas général ? Le cas échéant, il serait intéressant d'avoir une démonstration. Pierre Duceux
Réponse si pgcd(a,b)=1 et a divise bc, soit d le pgcd de ac et bc ;
c divise ac et bc, donc c divise d : d=kc
on a ac= qd = qkc, et bc = q'd= q' kc
donc a = q k et b=q'k donc k est une unité et d divise c
Or a divise bc et ac, donc il divise d, donc c : le théorème de gauss est vrai (c'est pour cela que ça s'appelle un anneau de Gauss !)
--Robert FERREOL (d) 13 janvier 2008 à 20:58 (CET)
