Polynôme symétrique

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En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme invariant par permutation de ses variables. Ils jouent notamment un rôle dans le lien entre les coefficients et les racines des polynômes.

[modifier] Définition

Dans un espace $K[T_1,\dots,T_n]$ de polynômes à plusieurs indéterminées, un polynôme $P (T 1,..., T n)$ est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices [1,n], l'égalité suivante est vérifiée : $P(T_1,\dots,T_n)=P(T_{s(1)},\dots,T_{s(n)}).$ Pour n=1, tout polynôme est symétrique. Pour n=2, le polynôme T₁+T₂ est symétrique alors que le polynôme T₁-T₂ ne l'est pas, du moins en caractéristique différente de 2 (puisque la transposition des indices transforme le polynôme en son opposé).

Les polynômes symétriques forment une sous-algèbre de $K[T_1,\dots,T_n]$ . Une famille génératrice est donnée par les polynômes symétriques élémentaires : ce sont les polynômes $\sigma_i(T_1,\dots,T_n)$ , pour $0\leq i\leq n$ définis par :

$\prod_{k=1}^n (X-T_k)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma_i(T_1,\dots,T_n)X^{n-i}.$

En particulier, $\sigma_1(T_1,\dots,T_n)=T_1+\dots+T_n$ , et $\sigma_n(T_1,\dots,T_n)=T_1\times\dots\times T_n$ . Plus précisément, le morphisme d'algèbre défini par :

$\begin{array} {ccc} K[X_1,\dots X_n] & \to & K[\sigma_1(T_1,\dots,T_n),\dots,\sigma_1(T_1,\dots,T_n)]\\ X_i & \mapsto & \sigma_i(T_1,\dots,T_n) \end{array}$

est un isomorphisme à valeurs dans l'algèbre des polynômes symétriques^[1]. Un autre système de générateurs célèbre, lié au précédent, est constitué des sommes de Newton.

Dans le contexte de la théorie des polynômes à une indéterminée, si un tel polynôme admet une factorisation $P(X)=\prod_k(X-z_k)=\sum_{i=0}^n a_iX^{n-i}$ en facteurs de degré 1, alors les coefficients du polynôme P sont donnés comme fonctions symétriques des racines z_i, c'est-à-dire :