Polynôme de Bernstein

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Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe S. Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive du théorème de Stone-Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

[modifier] Description

Pour un degré m, il y a m+1 polynômes de Bernstein B^m_0,\dots,B^m_m définis, sur l'intervalle [0,1], par

B_i^m(u) = \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} u^i \left( 1-u \right)^{m-i},

où les \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} sont les coefficients binomiaux.

Ces polynômes présentent quatre propriétés importantes :

  1. Partition de l'unité : \qquad \sum_{i=0}^m B_i^m(u) = 1, \qquad \forall u \in [0,1]
  2. Positivité : B_i^m(u) \geq 0, \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m
  3. Symétrie : B_i^m(u) = B_{m-i}^m(1-u), \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m
  4. Formule de récurrence : B_i^m(u) = \begin{cases} (1-u)B_i^{m-1}(u),& i = 0\\ (1-u)B_i^{m-1}(u) + u B_{i-1}^{m-1}(u),&\forall i \in 1 \dots m-1\\ uB_{i-1}^{m-1}(u),& i = m \end{cases} , \qquad \forall u \in [0,1] .

On notera la grande ressemblance des polynômes avec la loi binomiale.

Exemple de polynômes de Berstein de degré 3
Exemple de polynômes de Berstein de degré 3

[modifier] Voir aussi