Polynôme d'Hermite
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En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui ont été nommés ainsi en l'honneur de Charles Hermite. Ils sont définis comme suit :
- (forme dite probabiliste)
- (forme dite physique)
Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante: .
Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :
On peut démontrer que dans les coefficients d'ordre ayant la même parité que sont nuls et que les coefficients d'ordre et valent respectivement et .
[modifier] Orthogonalité
Hn est un polynôme de degré n. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure μ de densité
Ils vérifient :
où δnm est le symbole de Kronecker. Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert des fonctions boréliennes telles que:
dans lequel le produit scalaire est donné par l'intégrale
Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes de Hermite sous leur forme physique.
[modifier] Diverses propriétés
Le n-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique):
Les polynômes satisfont la propriété
que l'on peut écrire ainsi
Ils vérifient donc la relation de récurrence suivante :