Utilisateur:Pmassot/Brouillon formes

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Sommaire

[modifier] Introduction vulgarisée

On se place dans le cadre de l'espace affine euclidien standard Rn pour simplifier.


[modifier] Un objet à intégrer

Icône de détail Article détaillé : Intégration d'une forme différentielle.

Dans la suite on parlera de façon volontairement floue de sous-ensemble de dimension p de Rn. Par exemple un segment est de dimension un, l'intérieur d'un carré dans le plan est de dimension 2 tout comme une sphère dans R3.

Une forme différentielle α de degré p sur Rn est un objet géométrique qui associe à chaque sous-ensemble M de dimension p de Rn un nombre réel. On dit qu'on a intégré α sur M et on note le résultat

∫ α.
M

Pour décrire plus précisemment quel type de mécanisme d'association est autorisé on s'appuie sur l'idée qu'au voisinnage de tout point x de M on peut approcher M par une petite boîte engendrée par p vecteurs de Rn. Ainsi, pour p = 1, un morceau de courbe sera approché par un petit vecteur, pour p = 2 on approche un morceau de surface par un parallélograme engendré par deux vecteurs etc.

Ponctuellement, la forme différentielle α est la donnée pour tout point x de Rn d'une fonction αx qui à une p-boîte associe un nombre. Cette fonction peut être vue comme un unité de p-volume locale déterminée par α. Ainsi on demande qu'une p-boîte écrasée (par exemple un parallélograme dont tous côtés sont parallèles) soit envoyée sur 0 par αx. On demande aussi que αx dépende linéairement de chaque vecteur qui défini la boîte. Ainsi pour p = 1 on a simplement une fonction linéaire d'un vecteur et pour p = 2, si on multiplie la longueur d'un des deux côtés d'un parallélogramme par k alors le résultat obtenu en appliquant αx est multiplié par k, ce qui est cohérent avec l'intuition classique du calcul d'aire.

L'objet αx est appelé p-forme multi-linéaire alternée sur Rn. Pour p = 0 on retrouve la notion de fonction de Rn dans R.

Pour définir

∫ α
M

on divise M en un très grand nombre (en fait un nombre infini) de morceaux qu'on approxime par des p-boîtes Bi autour de points xi et on fait la somme sur i des \alpha_{x_i}(B_i).

[modifier] Tiré en arrière

Si φ est un difféomorphisme de Rn (c'est à dire une bijection continument différentiable et dont la réciproque est continument différentiable) et α est une p-forme différentielle alors la p-forme différentielle φ * α est définie par

∫ φ * α = ∫ α.
M φ(M)

Ponctuellement, on a, en notant Dφx la différentielle de φ au point x,

(\phi^*\alpha)_x(u_1,\dots,u_p) = \alpha_{\phi(x)}(D\phi_x(u_1),\dots,D\phi_x(u_p)).

[modifier] Dérivée extérieure et théorème de Stokes

Soit K un sous-ensemble de dimension p + 1 dans Rn ayant pour bord un sous-ensemble \partial K de dimension p. L'analyse vectorielle, utilisée en physique par exemple, montre qu'on peut attendre qu'une intégrale sur \partial K s'exprime comme intégrale sur K d'un certain type de dérivée de ce qu'on a intégré sur \partial K.

Ici, on veut pouvoir exprimer, pour toute p-forme différentielle α, l'intégrale \int_{\partial K} \alpha comme l'intégrale d'une (p + 1)-forme différentielle sur K. Montrons qu'une telle (p + 1)-forme différentielle existe toujours et est unique. Elle sera notée dα et appelée dérivée extérieure de α. On aura ainsi le théorème de Stokes \int_{\partial K} \alpha=\int_K d\alpha.

Il s'agit de montrer qu'en tout point x de Rn et pour toute (p + 1)-boîte B en x on peut définir un (dα)x(B) d'une façon compatible avec le théorème de Stokes. C'est donc de la démarche inverse du paragraphe sur l'intégration des formes différentielles. En effet pour intégrer une forme différentielle on part d'un sous-ensemble, on le divise en petits morceaux et on utilise la connaisance des αx pour calculer la contribution de chaque petit morceau. Ici on connait déjà la valeur attendu de l'intégrale de dα et on va remonter à (dα)x.

Pour chaque (p + 1)-boîte engendrée au point x0 par des vecteurs u_1,\dots,u_{p+1}, on considére donc la boîte Bε engendrée par \epsilon u_1,\dots,\epsilon u_{p+1} et on impose

\int_{B_\epsilon} d\alpha=\int_{\partial B_\epsilon}\alpha.

Par définition de l'intégrale sur un tout petit domaine on a

\int_{B_\epsilon} d\alpha=d\alpha_{x_0}(\epsilon u_1,\dots,\epsilon u_{p+1})=\epsilon^{p+1}d\alpha u_1,\dots, u_{p+1}.

On a sorti les ε de dα en utilisant sa multilinéarité attendue. Comparant les deux formules précédantes, on définit donc :

d\alpha_{x_0}(u_1,\dots, u_{p+1})=\lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\epsilon^{p+1}}\int_{\partial B_\epsilon}\alpha.

Par exemple si α est de degré zéro sur l'espace de dimension un alors elle est une fonction f : R \to R et, pour tout vecteur u accroché au point x0 le bord de la 1-boîte engendrée par u est constitué des deux points x0 et x0 + ε orientés de façon opposés. La définition ci-dessus donne alors :

df_{x_0}(u)=\lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\epsilon}\int_{\{x_0+h\}-\{x_0\}} f,

c'est à dire :

df_{x_0}(u)=\lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\epsilon}(f(x_0+\epsilon u)-f(x_0))=f'(x_0)u.

Les définitions précédantes montrent clairement que pour tout difféomorphisme φ on a d(φ * α) = φ * (dα).

[modifier] Lien avec les champs de vecteurs

Soit X un champ de vecteur sur Rn. Le flot de X est l'application \phi : R\times R^n \to R^n qui à (t,x) associe γ(t) où γ est la courbe solution de \dot\gamma(t)=X(\gamma(t)) vérifiant γ(0) = x. Pour tout t, on note φt le difféomorphisme qui à x associe φ(t,x). Soit α une p-forme différentielle.


Le produit intérieur de α par X est la (p-1)-forme notée ιXα et définie par

\int_N \iota_X\alpha = \lim_{t\to 0} \frac{1}{t}\int_{N\times[0,t]}\phi^*\alpha.

Poncutellement, on a (\iota_X\alpha)_x(u_1,\dots,u_{p-1})=\alpha_x(X(x),u_1,\dots,u_{p-1}) donc le produit intérieur est une opération purement ponctuelle.

La dérivée de Lie α dans la direction de X est la p-forme notée \mathcal{L}_X\alpha et définie par

\int_N \mathcal{L}_X\alpha = \frac{d}{dt}\left(\int_N\phi_t^*\alpha\right)_{t=0}.

Poncutellement, on a (\mathcal{L}_X\alpha)_x = \frac{d}{dt}\left((\phi_t^*\alpha)_x\right)_{t=0} qui dépend de X et de α dans un voisinage de x.

La dérivée de Lie, le produit intérieur et la dérivée extérieure sont liés par la formule magique de Cartan :

\mathcal{L}_X\alpha = d(\iota_X\alpha)+ \iota_X(d\alpha)

La démonstration de cette formule est une application directe des définitions précédantes, du théorème de Stokes et du fait que \partial(M\times[0,t])=(\partial M \times [0,t])\cup (M\times \{0\})\cup (M\times \{1\}).

Cette formule est fondamentale dans les applications des formes différentielles.