Pendule elliptique
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Soit un pendule pesant composé dont le point de suspension H est libre de glisser sur un axe horizontal sans frottement. La théorie du pendule pesant composé permet de ramener le problème à un haltère avec une masse m en H et une autre masse M en C, centre de percussion relatif à H : un tel pendule s'appelle pendule elliptique .
Il y a, a priori, deux degrés de liberté : OH = x(t) et l'élongation de C, θ(t) ; mais comme il n'y a aucune force externe horizontale, m .x(t) + M.l.sinθ(t) = 0 (l := HC) en se plaçant dans le référentiel galiléen adéquat: le barycentre G du système décrit alors la verticale selon le mouvement z= -a.cosθ(t).
Le point G décrit une verticale, le point H une horizontale, le point C fixe sur cette barre rigide décrit une portion d'ellipse (théorème dit de la bande de papier de la Hire): d'où le nom : pendule elliptique.
[modifier] Petites oscillations
On sait que le problème complet du pendule simple est délicat.
Ici, ne sera traité que le problème des petites oscillations.
Le théorème du moment cinétique appliqué en H dans le référentiel R(H origine), à la masse située en C donne :
,
soit compte-tenu de la relation m.x + M.l.θ =0,
d'où la période
Remarque: ce problème est usuellement résolu par la méthode des équations de Lagrange, puisqu'il n'y a pas de frottement; on retrouve bien sûr les résultats précédents.
[modifier] Calcul des réactions, cas général
Si les oscillations ne sont pas petites, appliquer le théorème de l'énergie cinétique donne :
donc
On en tire aisément :
N = mg + T cosθ
avec T tension de la barre :
T = Ml.f +ml/2.g.tanθ +Mg/cosθ
Bien sûr, selon la valeur des données initiales , reflétées par la valeur de h , il y aura comme pour le pendule simple , oscillattions ou tournoiement.
La quadrature donnant θ(t)n'est clairement pas facile.
[modifier] Voir aussi
- Pendule simple
- Pendule pesant
- référence : par exemple , Appell, mécanique rationnelle.