Discuter:Paradoxe des deux enveloppes

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Sommaire

[modifier] Les deux chèques

Remarque (auteur : kfedaoui@ifrance.com le 27-08-04): Le raisonnement me semble faux : Dans l'expression 0,5 * 2N + 0,5 * N/2, il ne s'agit pas du même N, puisque le 2N fait référence à N=montant inférieur, et le N/2 fait référence à N=montant supérieur. Il faudrait plutôt raisonner comme suit : -soit M1 le montant inférieur et M2 le montant supérieur (avec M2 = M1 * 2) -il y a une chance sur deux que l'on ait, au départ, le montant M1, et une chance sur deux que l'on ait le montant M2 -si on a au départ le montant M1 et qu'on change, le gain est de M2-M1 = M1 -si on a au départ le montant M2 et qu'on change, le "gain" est de M1-M2 = -M1 (on perd) -l'espérance de gain est donc de 0,5 * M1 + 0,5 * (-M1), soit zéro.

Il s'agit bien du même N, N représentant le montant du chèque de la première enveloppe désignée, et d'ailleurs le seul qui soit connu à ce moment-là. 81.64.199.142 21 juillet 2006 à 13:46 (CEST)

[modifier] Détaillons

Pour plus de rigueur :

Soit A l'évenement "N = Nmax" -> p(A) = 1/2

Soit B l'évenement "On gagne à changer d'enveloppe" -> p(B) = x (ce qu'on veut trouver)

Cas 1 : si on choisit N = Nmax, le gain est : p(A).(N/2) + p(A).N = 0.75N = 0.75Nmax Cas 2 : si on choisit N = Nmin, le gain est : p(nonA).N + p(nonA).2N = 1.5N = 1.5Nmin

On a donc une chance sur 2 de gagner du fric et une chance sur 2 d'en perdre en changeant d'enveloppe.

Comme en plus 0.75Nmax = 1.5Nmin, alors la perte compense le gain et vice versa, et donc :

p(B) = ( p(A) + p(nonA) ) / 2 = 1/2.

Donc le prétendu paradoxe de l'article est inexistant : changer d'enveloppe ou non revient exactement au même et n'influe pas sur la disctribution du gain.

195.132.57.158 6 sep 2004 à 21:46 (CEST)

[modifier] Donc il faut changer l'article

Effectivement, il n'y a pas de paradoxe, comme toujours, il n'y a que des raisonnements faux (bon, c est un autre debat...).

Le raisonnment presenté sur l'article est faux, mais semble juste a premiere vue. Et pas besoin de plonger dans les profonseurs du Bayesien et du maximum d'entropie pour trouver la faute. La faute se decouvre si on ait un raisonnement propre et rigoureux .

L'utilisateur 195.132.57.158 presente une facon correcte de trouver le bon resultat ("changer ou pas est equivalent") mais sa formalisation ne me parrait pas encore tres heureuse ni tres claire.

Voici une autre facon de conclure: Je note q et 2q les valeurs des cheques. Ce sont des valeurs numeriques, par exemple 100euros et 200euros. Je note N la variable aleatoire correspondant a la somme dans l'enveloppe choisie. N n'est PAS un nombre, mais une variable a valeur dans {q,2q} avec des probabilites 1/2 et 1/2. Je note N' la somme su'il y a dans l'autre enveloppe.

Le but est alors de calculer les gains moyens en optant pour la strategie de changer ou pas.

Si je ne change pas d'enveloppe : E[Gain] = P(N=q) * q + P(N=2q) * 2q = 1/2 q + 1/2 2q = 3/2 q Si je change systematiquement d'enveloppe : E[gain] = P(N=Q) * 2Q + P(N=2Q) * Q (car

[modifier] Quelques rectifications

Vous avez raisons sur le fait que l'article est faux et doit être modifié. En revanche, les raisonnements que vous proposez sont eux aussi erronés.

L'erreur se situe lorsque l'on dit que : La probabilité que l'on ait choisi le plus gros chèque vaut 1/2

En effet, on connait la valeur de ce chèque. Connaissant cela, la probabilité que ce soit le plus gros vaut 1/2 dans l'hypothèse qu'au départ, celui qui a rempli les chèque a choisi un nombre quelconque avec une distribution de probabilité uniforme.

Or, il est impossible de choisir un tel nombre. En effet, la distribution de probabilité correspondante est la limite lorsque N tend vers l'infini de la fonction constante 1/N pour x compris entre 1 et N. Cette fonction a une espérane infinie, et n'est donc pas possible physiquement.

Il faut donc, si l'on veut résoudre le problème, connaitre par exemple la somme maximale que peut fournir celui qui remplit les chèques. Dans tous les cas, il faut connaitre la densité de probabilité associée à chaque somme. Ainsi, si par exemple l'on sait que celui qui remplit le chèque n'a que 1 000 000 d'euros en banque, on gardera tout chèque de plus de 500 000 euros.

Pour une explication plus détaillée, il existe un article complet et agréable à lire, bien qu'écrit en anglais : http://www-alg.ist.hokudai.ac.jp/~jan/twoenvelopes.pdf

Par ailleurs, je ne suis pas un habitué des lieux, je ne connais donc pas les habitudes de l'endroit. Puis-je modifier l'article sans rien demander à personne, ou est-il préférable de demander à l'auteur initial de le faire, ou au moins d'avoir son aval pour modifier son article ?

l'aval de l'auteur pas necessairement mais l'aval de la communauté c'est plus sûr. Personnellement je ne considère pas votre argumentation comme valable. Il semble que vous vous trompiez de problème.
Vous imaginez que la valeur des chèques n'est pas connue et que le joueur ouvre son enveloppe
Dans l'énoncé fourni, les sommes des deux chèques ne sont pas choisies au hasard. Seule l'enveloppe est choisie au hasard. On peut très bien préciser que l'un des chèques est de 100 euros et l'autre de 200 euros. Dans le problème qui est cité ici le joueur ne doit pas ouvrir son enveloppe donc ne connait pas le montant du chèque. HB 27 septembre 2005 à 22:31 (CEST)
Ah oui, en effet vous avez raison, mon raisonnement tient pour un problème qui est, au fond, le même, mais présenté d'une manière différente. C'est la mention du paradoxe de Saint-Petersbourg (dont je ne vois le rapport avec le problème tel qu'il est présenté ici, peut-être pouvez vous m'éclairer à ce sujet) qui m'a induit en erreur.

[modifier] Une solution précise

Bonjour, je me permets de m'introduire dans la discussion car il se trouve que je comptais justement réécrire le paragraphe sur le problème des deux chèques.

Je vois qu'il y a des discussions sur le protocole expérimental : connaît-on la valeur a priori des deux chèques, comme HB le suggère ? Je supposerai ici que non, sinon le paradoxe n'en est plus un.

L'auteur de « quelques rectification » a partiellement raison, mais le paradoxe est un peu plus subtil que ça encore (en fait, il faut aussi traiter un cas physiquement peu réaliste, mais mathématiquement (très) intéressant). Il se trouve que j'ai écrit il y a quelque temps un papier de deux pages dessus (dans le cadre d'un exposé d'anglais pour mathématiciens) disponible ici. Je vous suggère donc de me laisser m'occuper de ce paragraphe, ou alors de vous inspirer de mon papier pour le faire (malheureusement, c'est en anglais et il y a pas mal de formalisme mathéamtique).

Remsirems, étudiant en DEA de probabilités

Vue l'ampleur que prend la discussion sur ce paradoxe et vue la taille déjà démesurée de cet article, il me semble que le développement pourrait donner lieu à un article à part entière avec un résumé sur cette page et un renvoi sur l'autre article. Dans l'article, il serait bon de montrer comment l'énoncé trop vague (connait-on ou non le montant des chèques, ouvre-t-on ou non l'enveloppe) conduit à des analyses différentes. Bon courage pour la création de cet article HB 26 février 2006 à 17:32 (CET)

[modifier] Paradoxe des deux chèques

Il semble que la solution que j'ai proprosée au paradoxe des deux chèques n'aie pas fait l'unanimité. Je reste convaincu, tant par moi-même que par la littérature, que cette solutions est non seulement juste, mais la seule juste. Voici donc une rédaction plus détaillée :

Je prends ici une simplification qui ne change absolument rien d'un point de vue qualitiatif. On sait seulement qu'un des chèques contient dix (pour simplifier) fois plus d'argent que l'autre, et (pour simplifier aussi) que les montants sont de la forme 10 ^N,\quad n\in \mathbb{Z} (càd. 1€, 10€, 100€, …, 10c€, 1c€, 0.1c€, etc.).

A priori on ne sait strictement rien sur le montant contenu dans chaque enveloppe. On fait donc l'hypothèse qu'il y a autant de chances pour que le montant de la plus grosse enveloppe prenne chaque valeur permise. Cette hypothèse est clairement impossible à réaliser, mais nous y reviendrons.

Donc, je me dis : « j'ouvre l'enveloppe A, et je vois, mettons, 1€. Je sais qu'il y a deux possibilités : soit j'ai choisi la bonne enveloppe et dans l'autre il y a 10c€, soit j'ai choisi la mauvaise et dans l'autre il y a 10€. Comme il y avait a priori la même probabilité que l'enveloppe gagnante contienne 1€ ou 10€, ces deux possibilités sont équiprobables. Dans le premier cas, je pers 90c€ en changeant d'enveloppe, dans l'autre je gagne 9€ en changeant. Donc en moyenne, je gagne 4.05€ en changeant d'enveloppe.

Maintenant, je dis : si je vois 1€ dans la première enveloppe, en moyenne, je gagne à changer. Idem si je vois 10€, ou 10€, ou 10c€, etc. Comme la moyenne de quantités strictement positive est toujours strictement positive, de manière complètement générale, en moyenne, je gagne à changer. Or c'est absurde, puisque de manière complètement générale, il y a en moyenne autant d'argent dans la seconde enveloppe que dans la première.

Pour lever le paradoxe, il faut comprendre ce qui se passe quand on considère une distribution a priori bien précise des montants dans les enveloppes (p.ex., une chance sur deux que la meilleure enveloppe contienne 1€ et une chance sur deux que la meilleure contienne 10€, et tous les autres cas sont impossibles). En effet, il est évident qu'il est impossible que tous les montants de la plus grosse enveloppe soient équiprobables (c'est un résultat bien connu en probabilités et par ailleurs très naturel : une infinité (dénombrable) d'événements ne peuvent pas tous avoir la même probabilité). Bon, alors donc je prends une distribution bien précise, et qu'est-ce que j'observe ? Eh bien, je peux observer deux choses différentes :

  1. La première, c'est qu'en fait, quand il y a beaucoup d'argent dans l'enveloppe que j'ai ouverte, eh bien en moyenne, je perds à changer. C'est ce qui se passe par exemple si je sais qu'il est totalement impossible que la meilleure enveloppe contienne plus de 1 000 000 €, et que l'enveloppe que j'ouvre contient 700 000 € (cas d'une banque de richesse finie, qui correspond à la pratique).
  2. La deuxième se produit si par ex. j'estime qu'il y a une chance sur 2 que la meilleure enveloppe contienne 1€, une chance sur 4 qu'elle contienne 10€, une chance sur 8 qu'elle contienne 100€, etc. et jamais moins de 1€. Dans ce cas, je gagne un peu moins en changeant d'enveloppe qu'avec le tout premier raisonnement (p.ex. s'il y a 10€ je gagne 24€ en moyenne quand je change), mais qualitativement le premier raisonnement reste juste. Là on est très inquiet ! Que se passe-t-il ? Eh bien, en fait, mon espérance de gain avant même de changer d'enveloppe était infinie, donc rien d'étonnant à ce que, quand j'ajoute quelque chose de strictement positif à l'infini, je ne l'augmente pas ! Pour être plus précis : parler de quantité gagnée en moyenne quand on change d'enveloppe si on ne conditionne pas par rapport à la quantité d'argent découverte dans la première enveloppe n'a pas de sens. La raison mathématique est que la fonction « différence de gain » n'est pas L1, et donc qu'on ne peut pas parler de sa moyenne, et certainement pas calculer cette dernière par le théorème de Fubini (qui dit, en gros, qu'une moyenne de moyennes est la moyenne des grandeurs initiales, et ne s'applique qu'avec des fonctions L1).

La solution présentée dans la mouture précédente de l'article ne faisait rien de plus que d'expliquer une méthode pour comprendre pourquoi l'accroissement moyen du gain en changeant d'enveloppe était zéro (en occultant au passage que cette notion ne faisait pas sens dans certains cas). Mais ça, c'est évident par symétrie des enveloppes ! Ce que j'appelle résoudre le paradoxe, ce n'est pas trouver la bonne réponse, mais comprendre l'erreur dans la mauvaise. Et si vous regardez bien, la solution précédente n'expliquait pas où était l'erreur dans le raisonnement. Elle semblait l'expliquer, mais si vous relisez bien la façon dont j'ai rédigé la solution naïve au début (càd. celle qui conduit à une contradiction), vous n'arriverez pas à comprendre l'erreur à l'aide de l'ancienne « solution ».

J'espère que ça vous ira. C'est peut-être un peu compliqué à lire, mais en s'accrochant ça doit passer ! Je n'ai pas envie de refaire une rédaction plus détaillée pour le paradoxe des deux enfants et pour l'histoire des Rémis, ne serait-ce que parce que l'ancienne version était (plus complète et) assez bien faite à ce sujet, et que l'article de J-P. Delahaye dans un Pour la Science d'il y a six mois environ que j'ai déjà cité mais dont je n'ai pas les référencs sous la main est, quant à lui, excellent à ce sujet.

Cordialement, Remsirems (qui va arrêter cette discussion qui lui bouffe la moitié de son temps libre et se consacrer dorénavant à créer de nouveaux articles dans le chapitre « théorèmes » – bon courage à vous sur l'article paradoxe !) Remsirems 12 mars 2006 à 21:37 (CET)

Munissez-vous d'une mouche de bonne taille. Allez acheter un fil de nylon bien solide à la mercerie du coin. Entourez la mouche du fil de nylon, et faites un noeud. Nous vous conseillons de lubrifier abondamment la mouche sous peine de blessures graves pour le diptère.
vous n'arriverez pas à comprendre l'erreur à l'aide de l'ancienne « solution » : il s'agit simplement d'un problème de variable aléatoire. La "solution" qui ne marche pas utilise N et N/2, c'est à dire les valeurs contenues dans les enveloppes, comme variable aléatoire. Or, ces valeurs sont fixées dès le départ, ce sont des données du problème, contrairement à ce que ton raisonnement fait penser, N n'est pas une variable aléatoire. la variable aléatoire, c'est X, la valeur contenue dans l'enveloppe qu'on a entre les mains. X peut valoir N ou N/2 (je ne vais pas te faire un cours sur les variables aléatoires), p(X=N) = 1/2, p(X=N/2) = 1/2, et hop voila: si on change d'enveloppe, on inverse, et basta : en espérance, on ne gagne rien. L'erreur, c'est simplement de considérer qu'on a N, et qu'après, on a soit 2N soit N/2. Mais en fait non : au départ, on a soit N, soit N/2, et après, on a soit N/2, soit N. C'est la confusion entre la valeur du meilleur chéque et la valeur de la variable aléatoire qui est l'erreur initiale, et le raisonnement est simplement faux parce que le problème a été mal formalisé (en gros, la formalisation mathématique ne correspond pas au problème tel qu'il a été posé. Ce n'est pas un problème de probabilités, c'est juste un problème de modélisation).
PS 1: ta réponse correspond peut-être à un autre problème, mais en tout cas pas à celui qui est posé dans l'article
PS 2: il n'a jamais été question d'ouvrir l'enveloppe
PS 3: il n'a jamais été question que la valeur du chèque puisse varier, ni qu'il puisse être question de "deviner" si le chèque est le plus fort ou le plus faible, le problème tient alors plus de la divination que des maths
PS 4: il y avait à la télé française il n'y a pas longtemps une émission de jeu débile où il fallait choisir des boites au hasard, qui contenaient des sommes cachées. La moyenne des sommes gagnées était toujours trés inférieure à la moyenne des sommes mises en jeu, parce que les candidats jouaient pour gagner plus que la moyenne (et donc perdaient toujours tout). L'intuition, surtout en ce qui concerne l'argent, n'a jamais été une tactique gagnante... Arnaudus 12 mars 2006 à 22:11 (CET)
La "solution" qui ne marche pas utilise N et N/2, c'est à dire les valeurs contenues dans les enveloppes, comme variable aléatoire. Or, ces valeurs sont fixées dès le départ Cette réflexion témoigne d'une grande méconnaissance de la notion de probabilité : celle-ci exprime le degré de connaissance de quelque chose. On parle tout à fait légitimement de la probabilité de trouver du pétrole en un endroit donné, alors que là aussi le pétrole s'y trouve déjà ou non et que donc "la probabilité devrait être 0 ou 1". C'est précisément le fait qu'on ne sache pas si la valeur "il y a du pétrole ici" vaut 0 ou 1 qui oblige à passer par une probabilité. Visiblement, tu as pris les probabilités au sens simplifié dans lequel on les expose dans le secondaire. 81.64.199.142 21 juillet 2006 à 13:52 (CEST)

[modifier] Présentation inacceptable dans une encyclopédie

Je transfère ici la phrase suivante :

"Effectivement c'est absurde... Mais est-ce un paradox [sic]? La réponse est définitivement négative puisque la démonstration de l'absurdité est en fait basé sur un argument fallacieux."

Parce que ceci, en tout cas, ça se nomme un argument circulaire (doublé d'un argument d'autorité inopportun). D'autre part, il n'est pas convenable de présenter des conclusions avant le raisonnement qui s'y attache. Cela serait tout sauf neutre. 81.64.199.142 21 juillet 2006 à 14:02 (CEST)

[modifier] Est-ce vraiment un paradoxe ?

J'ai beau chercher je ne vois pas pourquoi ce problèmes serait un paradoxe, en effet en termes de gain : 50 % de gagner N , 50% de gagner -N/2(perdre N/2 donc) ce qui donne bien une probabilité de gain de 1.25 N.Ce résultat n'est pas surprenant dans le sens que ce n'est pas du 'quitte ou double' : gagner 2N ou tout perdre. Néanmoins, si réappliqué cette formule pour un second tirage n'a aucun sens vu que cette fois-ci l'un des deux cas est exclu.En effet, si on passe de N à N/2 alors au second tirage la seul possiblité sera de revenir à N et non pas de tirer N/4.

Donc, ce paradox n'a pas lieu d'être car la valeur de N reste constante.

Ce n'est en aucun cas un paradoxe, c'est l'exemple même de malversations mathématique :).--Zzerome 25 septembre 2006 à 08:42 (CEST)
tous les Catégorie:Paradoxe probabiliste sont des Catégorie:Raisonnement fallacieux   <STyx @ 17 novembre 2006 à 22:11 (CET)
  • c'est un paradoxe parce que c'est connu comme tel (et l'on peut le présenter comme tel). Il n'y a vraiment pas de quoi en faire tout un plat.   <STyx @ 17 novembre 2006 à 22:09 (CET)

[modifier] Paradoxe des deux enveloppes : une salade de variables aléatoires

Les "explications" ne me paraissent pas assez convaincantes.

Je veux dire par là qu'elles ne permettent, ni de clouer le bec à celui qui soutient le "paradoxe" de mauvaise foi, ni de faire progresser celui qui y croit avec candeur. Leur défaut est selon moi de parvenir au bon résultat en apportant au raisonnement fallacieux une petite correction, au lieu de pointer le doigt sur le moment où se produit l'erreur et, éventuellement, de rappeler à part le raisonnement correct.

Je ne souhaite pas apporter de modification sans l'accord de la communauté. Je propose donc comme base à modifier (critiquer, raccourcir, clarifier...) le texte suivant:

Début de la proposition.

(FACULTATIF) QU’EN EST-IL EN REALITE ?

Bien sûr que le raisonnement est faux : soit X et 2X les montants des chèques.

- une chance sur deux de choisir l’enveloppe contenant X : si le candidat la garde il gagne X, s’il change il gagne 2X ;

- une chance sur deux de choisir l’enveloppe contenant 2X : si le candidat la garde il gagne 2X, s’il change il gagne X.

En conclusion, l'espérance de gain si on garde l’enveloppe vaut 0,5 * X + 0,5 * 2X = 1,5 X ; si on en change elle vaut 0,5 * 2X + 0,5 * X = 1,5 X également.

On ne gagne rien à changer, mais cela n’empêche pas de chercher où est la faille.

CE QUI PECHE DANS LE RAISONNEMENT PARADOXAL

1) Symptome : le raisonnement paradoxal implique un "espace des possibles" inacceptable.

L’expérience n’a que deux issues possibles ; le raisonnement paradoxal choisit une variable aléatoire représentant le contenu d’une enveloppe, pour lequel il met en scène trois issues possibles désignées par N, N/2 et 2N qui sont distinctes si N n’est pas nul. C’est inacceptable.

2) Diagnostic : le défaut précédent résulte d’un mélange de variables aléatoires.

Soit X et 2X les montants des chèques. L’enveloppe choisie, N est fixé. Il y a bien deux cas :

- N = X et l'autre enveloppe contient un chèque deux fois plus important (donc de valeur 2N) ;

- N = 2X et l'autre enveloppe contient un chèque deux fois plus petit (donc de valeur N/2).

Dire que ces cas ont "une chance sur deux" modélise alors, au moyen de probabilités subjectives, que l’on juge ces cas aussi "probables" l’un que l’autre, ce qui semble légitime.

Mais ces probabilités ne sauraient être liées à N/2 et 2N en tant qu’issues possibles d’un tirage : N/2 et 2N sont des issues possibles de DEUX expériences aléatoires différentes. Ces probabilités indiquent seulement que, si une issue vaut N, "l’espace des possibles" du tirage, de la forme {X, 2X} où X est un réel positif inconnu du candidat, ne peut être que {N/2, N} ou {N, 2N}, avec des chances jugées égales. C’est ici l’espace des possibles qui est pris comme variable aléatoire ou, ce qui revient au même, le montant X de la plus petite somme.

La formule mélange ces variables aléatoires car on calcule l’espérance du montant avec les probabilités subjectives de telle ou telle valeur de X (X = N/2 ou X = N). Cela n’a pas de sens.

3) (FACULTATIF) Cette erreur ne peut pas être assimilée à une simple confusion sur la valeur de N.

Tant que N n’est pas connu, on peut éventuellement le présenter comme un nom ambigu, un "faux ami" qui ne désigne pas une seule valeur mais peut en signifier deux selon le contexte : N désigne une valeur ou son double, selon l’enveloppe choisie par le candidat, et la formule d’espérance du montant est fausse parce qu’elle utilise tour à tour ces deux valeurs de N.

Cependant cette vision indulgente manque l’essentiel. En effet le "paradoxe" reste entier dans une version (*) où le candidat connaît N, par exemple 100 Euros. Cette fois N n’est pas ambigu. Pourtant on peut dire encore : une chance sur deux que l’autre enveloppe contienne 50 Euros, un sur deux qu’elle contienne 200 Euros, et l’espérance du gain si l’on change paraît être 50 Euros/2 + 200 Euros/2 = 125 Euros ! Le piège fonctionne encore.

(*) par exemple Raymond Smullyan "Ça y est, je suis fou !", Dunod

Fin de la proposition.

Merci de vos réactions.

Tabou

[modifier] Réfutation d'explications

Je pense qu'on peut améliorer cette contribution pour l'insérer mieux, ou autrement, dans l'article. En attendant, je préfère la réverter :

NB: Cette 1ère explication n'est pas valable. La solution proposée n'explique nullement pourquoi l'apllication du calcul des probabilités conduit à un paradoxe. Elle ne fait que proposer une manière de calculer (basée sur quoi ?) qui aboutirait à un résultat juste.

...

NB: Cette autre explication est toute aussi erronée. Elle propose en effet de considérer que les probabilités sont égales (=1/2). C'est à ce niveau que la théorie des probabilités, mal appliquée, aboutit au paradoxe.
Le commentaire ajouté quant à la situation après l'ouverture d'une enveloppe est ambigu. En réalité même en connaissant le montant d'une enveloppe, on n'en sait pas plus et la situtation ne change pas.

Ripounet (d) 14 décembre 2007 à 16:04 (CET)

Bonjour, après avoir lu un certain nombre d'articles cités ici et sur la WP anglophone, il me semble que:

- aucun auteur ne joue sur l'ambiguïté des variables aléatoires pour résoudre le paradoxe. Si vous en connaissez un, il faut le citer.

- Si les auteurs considèrent une version où la somme contenue dans la première enveloppe est connue, ça ne change rien au problème. En effet, dire "il y a N euros dans l'enveloppe que j'ai en main" ou "Il y a cent euros dans l'enveloppe que j'ai en main" ne change rien pour décider s'il faut choisir l'autre enveloppe ou garder celle-ci.

- Il faut parler de l'impossibilité d'une distribution aléatoire, où un chèque de valeur N serait aussi probable qu'un chèque de 2N. Tous les auteurs dont les articles sont cités insistent sur cette impossibilité. PierreL (d) 23 janvier 2008 à 22:54 (CET)