Discuter:Paradoxe des deux enfants

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Sommaire

[modifier] Du calme et du sang froid :-)

Bonjour, je vois que les débats sont passionnés.

Plutôt que de parler tout de suite du contenu de l'article actuel et de ses versions précédentes, quelques petites questions aux différents intervenants.

  • l'énoncé du paradoxe est imprécis et c'est bien ce qui conduit au paradoxe : il n'y a ni bonne ni mauvaise réponse.
  • en précisant l'énoncé dans un sens, on valide le raisonnement du prof.
  • en précisant l'énoncé dans un autre sens, on valide le raisonnement de l'élève.

Est ce que tout le monde est d'accord avec ces 3 phrases, ou pas ?

  • bien sur, c'est ce que je me tue à dire depuis le debut.  <STyx @

Je vous propose de laisser tomber pour le moment les parties accessoires de l'article (Simplicio, l'obstétricien, Hall, Stanley Milgram, le changement des probas 51%-49%, ainsi que le complément (2-p)/(4-p)). On verra ces points par la suite, une fois qu'on aura un coeur d'article ou il y a un consensus.

  • Simplicio, l'obstétricien: c'est ce que j'ai fait en les écartant de la discussion. Toutefois
  • obstétricien montre que l'apprehension du problème depend du contexte
  • Simplicio montre l'aspect approximatif de l'énoncé.
  • Hall permet de mieux faire comprendre (et visiblement c'est nécessaire) la cause profonde de la divergence d'interprétation.
  • complément (2-p)/(4-p) : a la relecture, je m'apercois que ce passage (que j'avais hativement transfere) est baclé (les retouches de HB n'ont rien amélioré). En l'état, j'ai préféré le mettre en commentaire.
  • "Analyse statistique" : cela m'apporte rien (c'est de la redite). je ne l'ai conservé que par ce qu'il faut être concilliant.  <STyx @

HDDTZUZDSQ 15 juin 2006 à 14:32 (CEST)

pour moi pas de problème, sauf les intitulés prof - élève auquel je préfèrerais une version plus neutre : interprétation a interprétation b par exemple (ou mieux, si on trouve plus joli)HB 15 juin 2006 à 15:12 (CEST)
  • je crois que sur le fond il y a consensus. Les propos de HB montre seulement qu'il a eu une lecture trop rapide de l'article (qui manquait un peu d'explications complémentaires et été trop concis dans sa conclusion) et qu'il a du mal à appréhender les choses en profondeur.  <STyx @ 15 juin 2006 à 17:40 (CEST)
Non mais franchement, comment vous faites pour supporter ce genre de commentaires?Salle 16 juin 2006 à 10:03 (CEST)
Oui, ca serait pas mal si tout le monde s'abstenait de faire des [[[Wikipédia:Attaques personnelles]] pendant cette phase ou on essaie de trouver un consensus. HDDTZUZDSQ 16 juin 2006 à 10:36 (CEST)

[modifier] plan

Bon, si tout le monde est d'accord sur le fond, c'est déjà pas mal. On se souviendra donc qu'il n'y a pas de bonne ou mauvaise réponse à l'idée initiale. De là, je vous propose de faire un plan ici Discuter:Paradoxe des deux enfants/Plan consensuel de l'article. (on fera ensuite des copier-coller pour le contenu à partir des différentes version). En fait, est-ce qu'on garde le plan actuel ? HB, qu'est ce que vous pensez du plan actuel ? Il faudrait sans doute mettre les 4 réponses sur le même plan (prof, eleve, simplicio, et l'obstétricien), et détailler seulement le raisonnement du prof. Actuellement les réponses de simplicio et de l'obstétricien ne sont pas au même niveau que les deux premières ? HDDTZUZDSQ 15 juin 2006 à 17:51 (CEST)
Réponse HB : Il ne me semble pas que les quatre réponses soient à mettre sur le même plan. Je pense que STyx ne me contredira pas si je dis que les réponses 1/2 et 1/3 sont celles qui correspondent au paradoxe (s'il te plait évite les termes réponse prof -réponse élève) les autres sont là pour montrer la variabilité des réponses possibles. Je verrai bien une phrase d'accroche pour présenter la question et indiquer que souvent deux réponses contradictoires sont données. Ensuite, oui, pourquoi pas, le développement de la réponse Académique (on peut trouver un autre mot) si STyx est d'accord et enfin l'analyse du pourquoi du paradoxe (et c'est là que se trouve le noeud du problème). HB 15 juin 2006 à 18:22 (CEST)
Ok, ça me semble pas mal. Peux-tu mettre ton plan dans Discuter:Paradoxe des deux enfants/Plan consensuel de l'article ? (sans mettre d'explications pour le moment, juste les titres et sous-titres). Ca me semble d'ailleurs peu éloigné du plan actuel de la version de Styx. Styx, tu nous diras si le plan de HB est ok. (juste le plan pour le moment, pas la rédaction finale). HDDTZUZDSQ 15 juin 2006 à 18:35 (CEST)
Bon c'est fait. L'intitulé des titres est provisoire . Ils indiquent seulement le contenu des diverses parties (on peut surement trouver mieux). HB 15 juin 2006 à 18:56 (CEST)
  • « Il faudrait sans doute mettre les 4 réponses sur le même plan » : c'est fait (dans un premier temps)
  • presenter d'emblèe la 4 reponses presente l'avantage d'ouvrir l'esprit du lecteur. Or c'est bien le manque d'ouverture d'esprit qui rend les articles sur les paradoxes si problématiques  <STyx @
  • « Actuellement les réponses de simplicio et de l'obstétricien ne sont pas au même niveau que les deux premières ? » : c'est normal car « Le paradoxe, tel qu'il est connu, ne porte que sur la divergence de point de vue entre l'élève et le professeur. »  <STyx @
  • il est important de se débarrasser de la partie calculatoire (ce que fait "Quelles sont les probabilités en présence ?") qui ne pose pas de problème pour aborder la partie "interpretation semantique" plus sainement.
  • il faut ne pas separe les 2 interpretations ; mais au contraire, les comparer.  <STyx @ 15 juin 2006 à 19:17 (CEST)

Avant de tout chambouler, j'aimerais savoir ce qu'il y a à redire sur l'article en l'etat actuel (hormis la terminologie prof, eleve, simplicio, et l'obstétricien)  <STyx @ 15 juin 2006 à 19:11 (CEST)

[modifier] terminologie

  • la terminologie « prof, eleve » est certe maladroite, car elle me place pas les 2 interpretation sur un pied d'egalité. mais semble donner un ascendant à l'interpretation du prof. De plus elle place le problème dans un contexte scolaire.
  • parler de réponse Académique serait pire.  <STyx @ 15 juin 2006 à 19:26 (CEST)
Bon, HB soulevait aussi la question de terminologie. Perso, je pense qu'il est bien de nommer avec des noms plutôt que des lettres (Reponse A, Reponse B est un peu austère), mais il semble que la terminologie prof/élève apporte effectivement une confusion : dans l'imaginaire de chacun, c'est forcément le prof qui a raison, et ça déroute lecteur. Qu'est ce qu'on pourrait mettre à la place ?
Styx : je suis bien d'accord. j'ai déjà proposé de reprendre Galilée : Filippo (Filippo Salviati), Francesco (Giovan Francesco Sagredo) et Simplicio (Simplicius de Cilicie)  <STyx @
HB : le problème est de justifier un développement préalable de la réponse 1/3 avant l'analyse sémantique; Pourquoi pas alors Une solution à l'aide des probabilités conditionnelle?
Qu'en disait les ouvrages de math ? Le mieux est encore de reprendre un ouvrage de math (de vulgarisation quand même, pas un ouvrage de math spécialisé), et citez la source. HDDTZUZDSQ 15 juin 2006 à 19:28 (CEST)
STyx : dans un contexte math. la prof a raison. En fait il a raison en cours, mais pas forcement dans la rue (où son point de vue est minoritaire).  <STyx @ 15 juin 2006 à 19:49 (CEST)
HB : Les ouvrages de math se gardent bien de poser un énoncé aussi ambigu. Je ne trouve aucune trace de cette question dans les bouquins de math que je possède. HB 15 juin 2006 à 20:03 (CEST)

Proposition de STyx : Est-ce que la proposition de Styx de remplacer par les noms Filippo, Francesco et Simplicio serait acceptable ? HDDTZUZDSQ 15 juin 2006 à 20:10 (CEST)

HB : oui pourqoi pas HB 15 juin 2006 à 20:39 (CEST)
Un intru: Pourquoi diable quitter la neutralité de point de vue? Chez Galilée, dans son Discours sur les deux sciences nouvelles, Simplicio est un individu stupide qui défend d'ailleurs mal des thèses fausses car il est bourré d'a priori et Filippo a toujours raison et prouve par l'expérience l'inanité des idées préconçues. Le paradoxe met en évidence la nécessité de clarté dans un énoncé et non le danger des idées préconçues. Comme le fait remarquer HB, il n'y a pas une vérité mathématique et une vérité de la rue, mais un énoncé ambigu qu'évite tout matheux sérieux, une référence dans un cours de maths me semble donc difficile sauf comme exemple de ce qu'il ne faut pas faire. Jean-Luc W 16 juin 2006 à 01:25 (CEST)

Contreproposition de HB un  : On peut proposer des prénonms neutres qui ne renvoient pas à un contexte historique (Philippe et François par exemple). HB 16 juin 2006 à 17:06 (CEST)

Contreproposition de HB deux On peut parler du raisonnement un tiers et du raisonnement un demi. HB 16 juin 2006 à 17:06 (CEST).

Cela me semble peut-être d'une rédaction moins claire pour le lecteur, et est un peu plus long à rédiger et à lire ? De plus, que deviendra le raisonnement simplicio ? HDDTZUZDSQ 17 juin 2006 à 20:41 (CEST)

[modifier] Proposition d'allègement

Il me semble que tout le paragraphe Question de probas ou de sémantiques? peut se résumer en un passage :

En réalité, la différence d'interprétation porte sur une question de précédence entre la "détermination" de l'un et l'autre et l'information « l'un est un garçon » : Pour l'élève, chaque enfant est d'abord désigné sous le terme l'un et l'autre ; puis, l'information « l'un est un garçon » est donnée. La précision est alors : ... l'un « préalablement déterminé » ... Pour le professeur, l'information « l'un est un garçon » "détermine" qui sont l'un et l'autre. La précision est alors : ... l'un « est choisi de sorte que : il »

Tout le reste n'est que reformulation de ce passage qui me semble à peu près clair. La répétition est certes la base de l'enseignement, mais sur un support écrit, elle est remplacée par la relecture. Il me semble que l'article pourrait se présenter ainsi : 1) énoncé ; les deux raisonnements et leurs ocnclusions contradictoires. 2)Interprétation des deux raisonnements (avec le passage ci-dessus) 3) s'il le faut vraimentl'écriture algorithmique et variables aléatoires des deux raisonnements

Ensuite, on peut intégrer les variantes si on veut, mais ça ne me semble pas nécessaire.

Par ailleurs, je trouve également que faire intervenir des profs et des élèves est non neutre ; et le remplacement par les personnages proposés ne me paraît pas pertinent : je ne vois pas en quoi cela vient éclairer le discours. Enfin, je signale que la valeur fille est représentée par 0, et la valeur garçon par 1 : est-ce bien neutre ? Salle 16 juin 2006 à 10:01 (CEST)

Vous proposriez quoi ? HDDTZUZDSQ 16 juin 2006 à 10:36 (CEST)
avis de HB : Je me range volontier à cette proposition . Il me semble que l'algorithmique et les variables aléatoires apportent plus de confusion que d'éclaircissement et peuvent être zappées. Les variantes, on peut les mettre ou pas selon la taille de l'article. Qu'en pense STyx ? (qui n'a pas encore donné son avis ni sur la proposition en page annexe ni sur cette proposition.) . HB 16 juin 2006 à 17:00 (CEST)
avis de Jean-Luc W: Je me range aussi à cette proposition, le message devient plus clair. Mon seul bémol à la vision de Salle est que garçon fille ne me gène pas (mais je n'ai aucune aversion à une modification dans le sens de Salle). Jean-Luc W 17 juin 2006 à 01:07 (CEST)
Heu, garçon-fille, c'était une blague.Salle 17 juin 2006 à 11:26 (CEST)
Oui, mais c'est vrai que finalement c'est intéressant car c'est neutre, plutot que les professeur/élève, simplicio, etc, qui induise le lecteur à penser que l'une des propositions a plus de légitimité que l'autre. Styx, que pensez-vous de cette idée ? HDDTZUZDSQ 17 juin 2006 à 11:29 (CEST)
Je crois qu'il y a confusion HDDTZUZDSQ, Salle faisait une blague sur le fait que fille était noté 0 et garçon 1. Proposer fille et garçon pour les deux versions n'est pas plus neutre quand on sait le problème social existant entre les filles et les mathématiques. Voir mes deux autres propositions plus haut. D'autre part, pourrais-tu relancer STyx qui ne répond plus depuis deux jours.HB 17 juin 2006 à 11:54 (CEST)
Faudra rappeller combien de fois que la mathématique est féminine? Bourbaki 17 juin 2006 à 18:59 (CEST)
Oula oula oula, svp, un conflit à la fois. :-) HDDTZUZDSQ 17 juin 2006 à 20:28 (CEST)

[modifier] Etonnants débats

Je suis prof de maths, j'ai demandé à tous (14) les collègues de français que je connaissais quel sens ils donnaient à "l'un d'eux est un garçon" et la réponse a été unanime c'est "l'un au moins", qui est le sens que tous les mathématiciens ont toujours pris pour cet énoncé. L'éducation nationale va bien mal qui emploie tant de professeurs incompétents. J'ai également demandé à mes élèves. L'honnêteté m'oblige à dire que sur 47 élèves interrogés, 14 ont répondu "l'un exactement" mais aucun "le premier" et donc 33 "l'un au moins". Il faudra aussi signaler à tous les mathématiciens qui n'ont jamais vu quelque difficulté d'interprétation que ce soit dans cet énoncé qu'ils se sont tous trompés. Un prof de maths surpris et consterné par cette page. ylemeur (cherchez mon adresse mail effacée dans l'historique de la page)

  • il faut vraiment avoir une lecture bien rapide de l'article, pour ne pas se rendre compte que le débat portait sur les interprétations prof/élève et non sur celle de Simplicio - qualifiée de marginale (quoique 14 / 47, ce n'est pas si marginal)   <STyx @ 19 juin 2006 à 17:44 (CEST)
Peut-on donner une source à cette interprétation de simplicio ? Cet article manque de source ... Il ne faudrait pas tomber dans les travaux inédits ... HDDTZUZDSQ 19 juin 2006 à 21:10 (CEST)
Une source serait effectivement bienvenue. Mais existe-t-elle ? Parce que cette page de Wikipedia est quand même le seul endroit que je connaisse où ce problème simple est qualifié de paradoxe et où cette solution de 1/2 est envisagée comme correcte. ylemeur

[modifier] premier point

De tous ces débats, il me semble que :

  • tout le monde est d'accord sur le fond de l'article (ie: il y a consensus pour considérer que l'énoncé du paradoxe n'a ni bonne, ni mauvaise réponse)
  • tout le monde est d'accord pour dire que les noms actuels sont imparfaits (prof/élève), de plus qu'il me semble que tout le monde est d'accord également pour reconnaître qu'il n'y a pas une réponse à privilégier par rapport à une autre. De là, tout le monde est ok pour remplacer par des prénoms. Styx propose des noms tiré d'un exemple de Gallilé, mais on relève que "Simplicio" n'est pas neutre non plus. HB propose des prénoms français courants. Ce point me semble mineur à régler. Styx, que pensez-vous de la proposition d'HB, peut-être un peu plus neutre et pédagogique par rapport à des noms italiens dont l'un est d'un usage trop évocateur ? (Deuxième alternative proposé par HB: proposer "raisonnement un tiers" et du "raisonnement un demi")
  • « selon le raisonnement zero, ... », c'est lourd. Je prefere « selon simplicio, ... »   <STyx @ 19 juin 2006 à 19:11 (CEST)
  • sur le fond, le mot "raisonnement" me déplait, (je prefere "thèse" ou "interpretation")   <STyx @ 19 juin 2006 à 19:11 (CEST)

Franchement, il me semble qu'il n'y a pas de difficultés majeures à surmonter et qu'on peut trouver facilement un compromis qui aboutisse rapidement à un coeur d'article clair, pédagogique et neutre. (Jean Luc W, Salle, et d'autres wikipédiens qui passeraient peuvent donner aussi leurs avis, bien sûr ! :-)

HDDTZUZDSQ 17 juin 2006 à 20:39 (CEST)

J'ai fait mes commentaires dans Discuter:Paradoxe des deux enfants/Plan consensuel de l'article mais je pense que notre différent porte davantage sur le contenu de la section probabilité et sémantique. HB 18 juin 2006 à 11:07 (CEST)
  • (à nouveau) Avant de tout chambouler, j'aimerais savoir ce qu'il y a à redire sur l'article en l'etat actuel (hormis la terminologie prof, eleve, simplicio, et l'obstétricien)  <STyx @ 19 juin 2006 à 19:11 (CEST)
Ok, HB, que reprochez vous au plan actuel de l'article ? Styx, pouvez-vous donner aussi votre avis sur la page Discuter:Paradoxe des deux enfants/Plan consensuel de l'article ? HDDTZUZDSQ 19 juin 2006 à 21:11 (CEST)
j'ai répondu deux lignes plus haut !!! les commentaires et un bilan des différentes propositions était dans Discuter:Paradoxe des deux enfants/Plan consensuel de l'article . Mais comme je l'ai dit plus bas, je laisse l'article se noyer tout seul. HB 19 juin 2006 à 21:25 (CEST)

[modifier] Les filles sont pas des 0!

Comme c'est un point mineur, je me suis permis de remplacer 0 et 1 par F et G.

Notez, si vous tenez vraiment aux chiffres, je suggère 1 pour les garçons, 2 pour les filles: cf numéros sécu. À moins qu'un fan de génétique insiste pour X et Y. Bourbaki 18 juin 2006 à 19:17 (CEST)

  • tu ne tient pas compte de "Interprétation algorithmique"  <STyx @ 19 juin 2006 à 18:19 (CEST)
Bon, et est-ce qu'il est vraiment impossible d'utiliser autre chose que des 1 et des 0 dans cet algo? Bourbaki 19 juin 2006 à 18:51 (CEST)
  • il ne faut pas employer des majuscules pour des valeur (confusion avec les v.a.)  <STyx @ 19 juin 2006 à 19:41 (CEST)
Est-ce que quelqu'un pourrait trouver un texte de références sur ce paradoxe ? Qui l'a formulé, etc ? J'ai l'impression qu'il y a des parties où tout le monde s'est fait un peu plaisir et qui contreviennent à la politique Wikipédia:Travail inédit HDDTZUZDSQ 19 juin 2006 à 21:13 (CEST)

[modifier] Tuile ! Évaporation du consensus

Désolé de briser le consensus existant, je préfère le faire vite (je lirai en détail les vieilles archives de discussion) mais je ne souscris pas du tout à l'opinion résumée par le Wikipompier de service (c'est par la page Wikipompiers que j'ai été attiré ici...) selon laquelle «tout le monde est d'accord sur le fond de l'article (ie: il y a consensus pour considérer que l'énoncé du paradoxe n'a ni bonne, ni mauvaise réponse)».

Au risque d'être un peu brutal, je dirai que selon moi 1) cet article est mauvais 2) l'article similaire de la Wikipedia anglophone est excellent et que la solution que je préconiserais (sans m'y risquer brutalement, je suis conscient qu'elle ne sera pas tout à fait consensuelle :-)) serait de remplacer l'article actuel par une traduction de l'article anglais.

Un doute sérieux : dans quelle mesure cet article est-il de la recherche originale et dans quelle mesure reprend-il des sources consultables dans des revues ou livres ? J'ai cliqué sur un seul des liens (celui qui n'est pas pdf) du commentaire du 10 mai (en souriant, puisqu'il s'agit des mises en ligne d'un collègue (actuellement retraité) [1] ) ... et suis tombé sur quelque chose qui me va tout à fait, disons qui est sans doute un peu trop formalisé mathématiquement pour en faire le seul contenu d'un article grand public, mais qui ne met pas dos à dos la solution juste et la solution fausse.

Donc une question avant de continuer. Quelles sources pour les paragraphes qui me font le plus tiquer, typiquement le 3-2 et le 4 ? Il me serait plus confortable et je trouverais plus courtois de les descendre au nom de «pas de recherche originale» qu'en disant pourquoi sur le fond je préconise leur suppression. (Et de toutes façons il me faudrait alors relire toutes les pages de discussion préalables pour échapper au risque de redites).

Voilà c'est tout ce que j'ai à dire en urgence, je repasserai bien sûr, mais je ne voudrais pas qu'une version prétendue «consensuelle» stabilise l'article dans un état proche de ce qu'il est actuellement. Touriste 19 juin 2006 à 21:14 (CEST)

de consensus, il n'y en a plus de ma part. je suis allée à la limite du compromis sans voir Styx faire un quelconque effort de sa part. Désolée pour HDDTZUZDSQ. Je ne m'épuiserai pas dvantage à discuter vainement en essayant remettre de l'ordre dans des discussions où tout le monde perd le fil. Je soutiendrai évidemment toute proposition venant des intervenants comme touriste Jean Luc, Salle. Bon courage à vous. HB 19 juin 2006 à 21:23 (CEST)
Question à Touriste : « qui ne met pas dos à dos la solution juste et la solution fausse. » Je n'ai pas compris ce que vous entendez par là ? HDDTZUZDSQ 19 juin 2006 à 21:24 (CEST)
Pour moi il y a une réponse JUSTE à savoir la réponse 1/3 (voir la page anglophone qui trouve 2/3 en posant le problème "à l'envers"), une réponse notoirement fausse (1/2) et des réponses anecdotiques (la "réponse de l'obstétricien" n'est d'ailleurs pas inintéressante, et est mentionnée indirectement dans la version anglophone, dans une présentation plus sobre). Un bon article doit PRIORITAIREMENT donner et expliquer la réponse juste ; plusieurs explications sont possibles dont aucune n'est évidemment la bonne - en gros on peut utiliser les formules de probabilités conditionnelles, comme dans le 2-2 de l'article, ou faire un peu de comptage comme dans l'article anglophone. Les deux se défendent, un bon article pourrait donner les deux points de vue et on peut discuter de savoir dans quel ordre ils doivent s'articuler ; ou on peut préférer en donner un seul. Ce n'est pas le sujet des débats, si c'était simplement ça on trouverait vite un consensus.
Quant à la solution FAUSSE (1/2), le choix de l'article anglophone (ne pas en parler) n'est pas déraisonnable. Si l'article prétend la justifier, je dis simplement (et en majuscules) NON !!! Si on veut en proposer une réfutation, pourquoi pas c'est raisonnable, mais là gare au «pas de recherche originale». Des dizaines de sources doivent en avoir trouvé des présentations fort pédagogiques, alignons nous sur l'une d'entre elles, ne réinventons pas la roue.
Pour en revenir aux questions posées par notre vaillant pompier (à son débarquement du 15 juin), espérant clarifier ma position, je réponds simplement «pas d'accord» aux trois. Touriste 19 juin 2006 à 21:38 (CEST)
Ah bin nous voilà bien. :-) Bon, je retiens le caractère anecdotique de certaines réponses. Je ne sais pas comment faire maintenant pour faire avancer le débat. Je propose que quelqu'un trouve une source vérifiable, qui explicite le concept, et qu'on arrête les travaux inédits. (Sur le fond, tel que j'avais compris le problème, il me semblait bien que l'énoncé n'est pas clair, d'où les deux réponses possibles, ni bonne ni mauvaise puisque l'énoncé est volontairement flou pour laisser l'ambiguité. J'ai du mal à comprendre votre position là dessus d'ailleurs). HDDTZUZDSQ 19 juin 2006 à 21:48 (CEST)
L'article anglais est pas mal, il a le mérite d'être simple et clair. Par contre il ne parle pas de réponse bonne, ni de réponse fausse, justement ? HDDTZUZDSQ 19 juin 2006 à 21:51 (CEST)
Tout à fait la réponse dite "de l'élève" dans l'article français n'est même pas évoquée par l'article anglais. La fraction "1/2" apparait dans celui-ci mais comme réponse à une AUTRE question, celle qui contient le mot "ainé", question que l'article francophone refuse d'évoquer au nom de "l'âge du capitaine" (sic...) Touriste 19 juin 2006 à 21:56 (CEST)
Bon l'article anglais est clair parce qu'ils posent distinctement les deux questions. Donc c'est facile. L'article français a proposé un énoncé flou exprès, et appelé ça un paradoxe. Bon, le mieux serait vraiment de trouver la formulation originale, et de s'y tenir. HDDTZUZDSQ 19 juin 2006 à 22:07 (CEST)
Je ne suis pas sur que la question française soit "floue" : son énoncé « Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ? » ressemble tout de même de très près à la deuxième version de la question en anglais (celle du paragraphe 4 : «Given that we have a two-child family with at least one boy, what is the chance that the boy has a sister?»
Certes l'absence d'un mot français équivalant au "at least" permet de faire apparaître la solution 3) mais c'est selon moi anecdotique ; en tout état de cause le français "Sachant" correpond bien à l'anglais "Given". Mais bon si ça aide à ménager des susceptibilités de modifier l'énoncé de la question française en le remplaçant par une traduction de la question du paragraphe 1 de la version anglaise, aucune objection de ma part. Touriste 19 juin 2006 à 22:12 (CEST)
Bin en fait je trouve le texte anglais flou aussi :-) (C'est bien au moins je suis cohérent). L'énoncé particularise le garçon. the boy. Et donc c'est flou. Si il particularise, on a tendance a penser : ok il y a LE garçon, donc ca fait 1/2 chance pour l'autre. Pas si clair que ça finalement l'article anglais. (Bon en fait, c'est simplement dans leur paragraphe "another point de vue sur le problème", qui me semble apporter plus de confusions que d'éclaircissements. Enfin, on est pas là pour réécrire l'article anglais non plus. :-) HDDTZUZDSQ 19 juin 2006 à 22:34 (CEST)

[modifier] Aujourd'hui, soyons constructif !

Et voilà j'ai écrit ce qui peut être une nouvelle base de travail (non wikifiée, passage à formules non écrit...) pour reprendre à zéro la page, on la trouvera à Utilisateur:Touriste/Paradoxe des deux enfants.

Voici en gros les principales différences de philosophie avec l'article actuel :

  • ma version détaille la solution "juste", en utilisant à ce niveau une traduction de l'article anglophone, dont le formalisme me paraît agréablement compréhensible à des débutants ;
  • comme l'article anglophone, ma version évoque aussi la question concernant l'"ainé" ce qui est une version classique du problème (dans sa version actuelle de l'article, l'évocation n'est que très évasive)
  • la version que je propose cite aussi la version "avec prénom" de Delahaye, inconnue tant de l'article actuel que de l'article anglophone, et qui est pourtant assez amusante et instructive
  • je n'ai pas complètement fait disparaître les considérations assez volumineuses de l'article actuel sur les "autres solutions" du premier problème, mais ai beaucoup beaucoup coupé et réécrit ça à ma façon. Touriste 20 juin 2006 à 11:34 (CEST)

Voilà une solution qui me plait bien. Les avantages sont , à mes yeux, les suivants:

  • L'article explicite clairement les enjeux sans présenter des résultats faux ou polémiques quand aux interprétations.
  • Il est exhaustif et montre comment les différentes hypothèses influent sur le résultats.
  • Il est rédigé
  • Il satisfera probablement beaucoup de monde comme HB, Salle touriste ou moi-même.

Qu'en penses STyx ? Jean-Luc W 21 juin 2006 à 00:09 (CEST)


C'est très bien d'avoir mis une source. HDDTZUZDSQ 21 juin 2006 à 00:33 (CEST)

Il y avait une thèse dans l'article initial, qui n'existe plus ici ; je n'aimais pas l'artickle, mais la thèse me convenait : c'était, un énoncé en langage commun, non formalisé mathématiquement, est susceptible de plusieurs interprétations, entre lesquelles il est difficile de trancher. La version de Touriste abandonne cette idée ; alors, certes, son article n'est pas désagréable comme l'était celui de STyx ; certes, la thèse que j'ai énoncée est peut-être difficilement sourçable ; mais il me semble quand même qu'on a perdu quelque chose.Salle 21 juin 2006 à 13:34 (CEST)
Plus précisément : tout le monde se met à parler de résultats faux ou justes, et de résultats vrais à mettre en valeur ; il me semble qu'on perd de vue que le résultat est de toutes façons trivial, et ne mériterait meme pas un exercice niveau lycée ; alors, de là à en faire un article encyclopédique... Le seul intéret, pour moi, c'était justement d'élucider cette difficulté d'interprétation ; certains commencent à prétendre qu'elle n'existe pas, peut-etre, mais j'en doute : à lier avec tous les débats aux temps antiques des probabilités, avant Fermat : n'y avait-il pas des désaccords entre de grands esprits justement parce qu'ils modélisaient mal des situations réelles, parce qu'ils interprétaient mal? S'il n'y a effectivement pas de difficulté d'interprétation, il faut supprimer l'article ; s'il y a difficulté, on l'élucide (quelques phrases suffisent), et on s'arrete là. Mais foin des variantes et autres, il n'y a pas matière encyclopédique là-dedans, tout au plus de petits exos. Je pense que la remarque s'étend à beaucoup d'articles sur les paradoxes probabilistes.
Je reviens aussi sur ce que j'ai dit à propos du texte de Touriste ; les articles de Delahaye ne constituent pas des références adéquates, il en a déjà été question ailleurs ; et les variantes proposées ne sont pas très intéressantes, en plus d'etre très sujettes à caution : on peut remettre en question ses interprétations des variantes, encore plus clairement qu'on le pouvait pour la question initiale.Salle 21 juin 2006 à 17:18 (CEST)
Voilà, j'ai finalement rédigé ma petite version à moi. Il me semble qu'elle contient ce qui est le plus pertinent, et que ce qui n'y est pas ne manque pas. C'est mon avis, rien de plus, hein?
Finalement, je reviens sur ce que j'ai dit sur la variante de Touriste, à propos du foot et du badminton ; l'exemple du changemanet de probas avec l'info qui fait du badminton est effectivement frappant.Salle 21 juin 2006 à 18:07 (CEST)
Je jette un oeil rapide, etant occupe a faire du ...tourisme... ces jours-ci. Je suis reserve sur la mise en relief de la solution "en 1/2" au probleme (dans sa version simple) : ce n' est pas cette possibilite d' erreur qui fait le charme de ce paradoxe mais (selon moi) la modification du resultat par les infos additionnelles. Mais bon le brouillon que tu proposes a par ailleurs le charme de la brievete et je souligne tout de suite qu'il me parait aussi tres preferable a l'article dans sa version actuelle. J' insiste encore une fois sur le fait que la version anglaise ne mentionne meme pas cette solution en "1/2" (bon d' accord elle ne mentionne pas non plus la version evoluee avec info complementaire). Autrement OK pour chercher une source plus traditionnelle que Delahaye, mais je n' en ai pas sous la main personnellement... Touriste 22 juin 2006 apres-midi.


Personnellement, j'ai comme HB passé assez de temps là-dessus. Je laisse à Touriste par exemple le soin de tenir compte ou non de mes remarques, et je lui fais confiance pour faire quelque chose d'honnête et d'équilibré ; étant persuadé de toutes façons que ce qu'il produira sera nettement meilleur que la version actuelle.Salle 22 juin 2006 à 18:10 (CEST)
Je suis plus sensible au charme de l'article de touriste, qui préfère comme axe d'analyse la variation de la proba en fonction de l'info fourni, je trouve le sujet plus pertinent. J'ajoute cependant que c'est une question de goût car les maigres sources trouvées ne peuvent servir de référence comme le remarque Salle. Donc je n'ai pas d'argment tranché, permettant de choisir une deux versions. Biensur je partage l'opinion de HB, Touriste Salle ou Alain R pour qualifier l'article actuel de, disons pour ne pas être polémique, largement inférieur aux deux proposés. Je me propose de faire une enquête auprès de la communauté mathématique. De toute manière chacune des deux solutions me semble être en mesure d'arrêter ce scandale étrange en mathématiques, qui est une guerre d'édition. Jean-Luc W 23 juin 2006 à 16:48 (CEST)

J'ai lu l'article anglais; il me semble très critiquable. Pour la formulation "Given that we have a two-child family with at least one boy, what is the chance that the boy has a sister", il donne la réponse 2/3 ce qui est pour le moins discutable. Je considère que c'est trop ambigu, mais si on me demande de trancher je réponds 1/2 en considérant qu'il s'agit de trouver la probabilité d'avoir une soeur quand on tire au hasard un garçon d'une famille de deux enfants (c'est-à-dire tirage au sort selon les enfants et non selon les familles).

Peut-être alors devriez vous lire plus attentivement la phrase dont une traduction littérale donne "étant donné que nous avons UNE FAMILLE de deux enfants avec au moins un garçon, quelle est la probabilitié que le garçon ait une soeur", je ne vois donc pas comment vous pouvez y lire "on tire au hasard un garçon ". Ceci étant dit, où en est Touriste de sa proposition qui recueille de nombreux avis favorables? Peut-il insister un peu plus sur la réponse 1/2 pour faire plasir à certains et proposer l'article en ligne ? HB 25 juin 2006 à 19:36 (CEST)
Le touriste vient de rentrer de son tourisme. Je suis peut-être trop diplomate mais je constate qu'un des plus virulents participants au débat n'a rien posté sur Wikipedia depuis le 19 juin et me dis qu'il serait peut-être plus courtois d'attendre son retour pour agir - si on pense que je devrais être plus hardi, on peut me pousser (on peut aussi copier-coller mon brouillon et hop dans la page définitive, au passage on pourra comme ça le modifier - il a vocation à évoluer, et ce à la façon Wiki, par successions d'interventions). --Touriste 25 juin 2006 à 19:56 (CEST)
Cela étant la remarque de l'anonyme ci-dessus n'est pas inintéressante, plus intéressante sans doute que la problématique posée par l'article dans sa forme actuelle. On peut en effet se demander QUELLE hypothèse d'équiprobabilité est implicite dans la question ; il me paraissait évident que c'était une équiprobabilité sur les familles, mais en lisant ce commentaire (et d'ailleurs aussi en y pensant il y a deux jours) je dois reconnaître que supposer l'équiprobabilité des garçons est tiré par les cheveux mais pas insensé. Boaf, je ne sais quel profit tirer de la remarque. --Touriste 25 juin 2006 à 20:02 (CEST)

(Jacques Decour) Je suis l'anonyme ci-dessus, mais je vais signer, ce sera plus pratique. Je précise que je ne tiens pas à défendre 1/2 plutôt que 2/3 : j'observe simplement que l'énoncé tire délibérément vers deux directrions contradictoires selon les mots qu'on souligne. Comparons "étant donné que nous avons UNE FAMILLE de deux enfants avec au moins un garçon, quelle est la probabilité que le garçon ait une soeur" et "étant donné que nous avons une famille de deux enfants avec au moins UN GARCON, quelle est la probabilité que LE GARCON ait une soeur"

Tout le monde est d'accord que les énoncés suivants sont assez clairs "Quelle est la probabilité conditionnelle qu'une famille de deux enfants comporte une fille et un garçon sachant qu'elle comporte au moins un garçon" (réponse 2/3) de même "Quelle est la probabilité qu'un garçon d'une famille de deux enfants [ayant donc au moins un garçon !] ait une soeur" (réponse 1/2)

En posant la question sous la forme "probabilité que le garçon ait une soeur", l'énoncé ci-dessus éloigne de l'énoncé correct. Bien sûr, dire "la famille a une fille et un garçon" ou "le garçon a une soeur" est équivalent au niveau logique, mais crée de l'obscurité au niveau probabiliste car le sujet de la phrase "la famille" ou "le garçon" induit une notion d'équiprobabilité différente. On le voit bien si on essaie de formuler la version "le garçon" sous une forme rigoureuse de la forme probabilité de A sachant B. Regardons : "Quelle est la probabilité conditionnelle que le garçon ait une soeur sachant qu'on a une famille de deux enfants avaec au moins un garçon". Ca ne va visiblement pas. L'article anglais devrait se limiter à poser le problème sous la forme : "étant donné que nous avons une famille de deux enfants avec au moins un garçon, quelle est la probabilité que cette famille comporte une fille et un garçon". Sous cette forme au moins, la réponse attendue par le questionneur est assez claire (2/3). Mais je pense qu'il est quand même préférable de choisir la formulation mathématique de la question (probabilité conditionnelle de A sachant B).

Plus généralement, les exercices du type "On sait B, quelle est la probabilité de A" doivent être maniés avec la plus grande prudence. Pour les poser, il y a deux possibilités. 1) Soit on fait un problème de mathématiques et alors on demande "quelle est la probabilité conditionnelle de A sachant B" (A et B devant être non ambigus; le mot "conditionnelle" est utile pour dire qu'il ne s'agit pas d'une probabilité au sens primitif et en particulier que l'application à une situation concrète nécessitera une réflexion supplémentaire). 2) Soit on fait un problème de modélisation : et alors l'énoncé doit détailler comment le hasard intervient, et en particulier comment l'information B a été obtenue, car cela peut modifier la modélisation requise. (Jacques Decour)

Votre remarque me semble en effet avoir sa place dans l'article, (tout particulièrement la dernière phrase et l'observation importante sur l'utilité de savoir comment l'information B a été obtenue...) Et hop un petit "todo" de plus, mais c'est une bonne chose en effet que d'étoffer la partie "Remarques". --Touriste 25 juin 2006 à 22:39 (CEST)

Je remarque qu'un des principaux participants à la controverse semble rentré sur Wikipedia, et n'est pas intervenu ici. Est-ce un choix délibéré ou cette discussion a-t-elle échappé à sa vigilance ? Si le débat ne reprend pas d'ici disons deux jours, je basculerai mon brouillon, sans doute un peu amendé pour prendre en compte les remarques faites ci-dessus, à la place de la version actuelle. --Touriste 3 juillet 2006 à 12:12 (CEST)

[modifier] Réponse à Touriste

Je vois clairement que pour Touriste (entre autres), Il faut absolument une réponse (attitude que l'on peut qualifier de simpliste). Le bonne article est alors celui qui présente l'énnoncé non paradoxal. Mais alors, ce n'est plus un paradoxe, mais un (trés) simple exercice de calcul de probabilité (comme il y en a déjà trop). C'est éluder la difficulté du problème. J'ai crée cet article sur la base de l'énnoncé que j'ai trouvé dans paradoxe. Cet énoncé est excellent ca c'est réellement un paradoxe. Cette formulation montre que le raisonnement scientifique doit s'appuyer sur une formalisation rigoureuse, faute de quoi, il se fait piégé.

  • étant donné le peu de corrections (merci à Wart Dark :) qui ont été faite de mon remaniement (qui a été hatif et reste inachevé), j'ai des doutes sur la qualité des lectures qui en ont été faites. D'ailleurs, il n'y a aucune critique de fond sur les explications avancées (pour résumé: la divergence "préalablement déterminé/est choisi de sorte qu'il")

Je suis portèe à croire que l'on n'en veut qu'à ce qui n'a pas été lu ou compris. C'est pourtant la clef du problème.

  • on peut bien sur énoncer (dans les compléments) toutes ces variantes proposées et qui ne pose (pour la plupart aucune difficulté). Cela illustrerait le propos (comme le fait "Une analogie".
  • on pourrait recycler "Quelles sont les probabilités en présence ?" dans "Raisonnement de l'élève" et "Raisonnement détaillé du professeur". Cela allègerait un peu.
  • concernant les sources : malheureusement, parmi toutes celles citées, elles sont à l'image des discussions. Elle s'attarde sur les calculs mais font l'impasse sur la formalisation (donc l'analyse sémantique)   <STyx @ 3 juillet 2006 à 17:26 (CEST)


[modifier] Proposition d'organisation de l'article

(Jacques Decour) Si je peux me permettre, je crois que la meilleure façon d'organiser l'article serait :

1) affirmer clairement que le problème de départ est mal posé et qu'il n'y a pas de réponse ;

2) résoudre les problèmes de probabilité conditionnelle sur lesquels tout le monde est d'accord, mais en les énonçant sous une forme mathématique correcte : probabilité conditionnelle de A sachant B, avec un tirage au sort non ambigu ;

3) reprendre le problème initial en montrant que diverses façons d'interpréter l'information disponible B (d'une part ce qu'elle signifie vraiment, mais aussi et surtout la façon dont elle a été obtenue) aboutissent à des probabilités différentes, et insister sur le fait que c'est bien normal.

Je pense qu'on aura progressé si l'article explique que parler de la probabilité d'une assertion n'a pas de sens. Qui dit probabilité, dit événement et espace probabilisé. Pour l'application à des situations concrètes, il faut que la façon dont le hasard intervient soit précisée.

Regardant un peu sur internet, j'ai trouvé une référence intéressante à l'adresse http://discuss.fogcreek.com/techInterview/default.asp?cmd=show&ixPost=1608 Il s'agit d'un article de Martin Gardner d'octobre 1959 dans Scientific American. Je le reproduis en anglais, puis traduit par mes soins :


Another example of ambiguity arising from a failure to specify the randomizing procedure appeared in this department last May. Readers were told that Mr. Smith had two children, at least one of whom was a boy, and were asked to calculate the probability that both were boys. Many readers correctly pointed out that the answer depends on the procedure by which the information "at least one is a boy" is obtained. If from all families with two children, at least one of whom is a boy, a family is chosen at random, then the answer is 1/3. But there is another procedure that leads to exactly the same statement of the problem. From families with two children, one family is selected at random. If both children are boys, the informant says "at least one is a boy." If both are girls, he says "at least one is a girl." And if both sexes are represented, he picks a child at random and says "at least one is a ..." naming the child picked. When this procedure is followed, the probability that both children are of the same sex is clearly 1/2. (This is easy to see because the informant makes a statement in each of the four cases -- BB, BG, GB, GG -- and in half of these case both children are of the same sex.) That the best of mathematicians can overlook such ambiguities is indicated by the fact that this problem, in unanswerable form, appeared in one of the best of recent college textbooks on modern mathematics.


Un autre exemple d'ambiguïté provenant de l'absence de spécification de la procédure de tirage au sort est apparu dans cette rubrique en mai dernier. On vous dit que M. Smith a deux enfants, dont au moins un est un garçon et on vous demande de calculer la probabilité que les deux enfants soient des garçons. Plusieurs lecteurs ont remarqué à juste titre que la réponse dépend de la procédure par laquelle l'information "au moins un est un garçon" est obtenue. Si parmi toutes les familles de deux enfants dont l'un au moins est un garçon, une famille est choisie au hasard, alors la réponse est 1/3. Mais il y a une autre procédure qui mène exactement au même énoncé du problème. Parmi les familles de deux enfants, une famille est choisie au hasard. Si les deux enfants sont des garçons, l'informateur dit "au moins un enfant est un garçon"; si les deux enfants sont des filles, il dit "au moins un enfant est une fille"; et si les deux sexes sont représentés, il choisit un enfant au hasard et dit "au moins un enfant est ...", donnant le sexe de l'enfant tiré au sort. Quand cette procédure est suivie, la probabilité que les deux enfants soient de même sexe est clairement 1/2. (C'est facile à voir parce que l'informateur fait une déclaration dans chacun des quatre cas GG, GF, FG, FF et dans la moitié de ces cas deux des enfants sont de même sexe). Que les meilleurs mathématiciens puissent ne pas voir de telles ambiguïtés est confirmé par le fait que ce problème, sous une forme où la réponse est impossible, apparaît dans l'un des meilleurs manuels de premier cycle récents de mathématiques modernes.

Martin Gardner, octobre 1959, Scientific American

(Jacques Decour)

Je suis plutôt d'accord avec cette proposition. Pour en avoir déjà discuté, il me semble que le coeur du paradoxe concerne l'interprétation probabiliste de l'énoncé. Autrement dit dans la version actuelle de l'article, la troisième et quatrième interprétation ne me semblent pas pertinentes. Il me semblerait ainsi plus adapté --pour écarter l'interprétation "obstréticienne"-- de parler de "boule bleue" et de "boule rouge" en nombre égal dans une urne.
Comme l'a fait Jacques Decour, il me semble indispensable d'introduire un peu de jargon pour en parler. Ce jargon est de toutes manières accessibles aux lycéens de Première, ce qui ne me semble pas trop restreindre le public (comparez cela par exemple au Théorème de Stampacchia).
Arrivé à ce point, l'article anglophone me semble bien exprimer le problème. Par ailleurs, il me semble que l'ambiguïté repose sur ce que l'on appelle un évènement élémentaire : Si l'on souhaite prendre en compte l'ordre dans lequel les enfants naissent, on a alors 4 évènements élémentaires : Un garçon puis une fille, une fille puis un garçon, deux garçon ou deux filles. Si l'on fait abstraction de cet ordre, on n'a plus que trois évènements élémentaires : un garçon et une fille, deux garçon, ou deux filles. L'une ou l'autre des inteprétation donne l'une ou l'autre des réponses. En termes mathématiques cela consiste à choisir d'utiliser un couple de sexes ou bien un ensemble de sexes parmis {garçon, fille}. Certains énoncés permettent de deviner l'interprétation pertinente. Il me semble d'ailleurs qu'utiliser un ensemble de sexes est sémantiquement (et pas seulement arithmétiquement) équivalent à utiliser un couplet de sexes avec des probabilités condionnelles.
Comme l'article cité le montre, l'origine de l'information joue un rôle crucial pour sa correcte interprétation, et il me semble important d'en parler dans l'article pour bien apprécier le problème. VincentPalmieri 14 août 2006 à 01:24 (CEST)

[modifier] Rien que pour embêter Salle

Salle a fait remarquer qu'il n'est pas réaliste de dire qu'il naît autant de garçons que de filles, et que les naissances sont indépendantes… http://www.cia.gov/cia/publications/factbook/fields/2018.html

Effectivement, ça doit faire une différence entre l'Arménie (1,17 g/f à la naissance) et les îles Féroés (1). Euh, on ajoute "aux îles Féroées" dans l'énoncé? Par contre l'influence du sexe du premier enfant sur celui de second, j'en sais rien. Euh, ce serait pas un truc qu'on est complètement incapable d'expliquer?

Si on considère les sexes des deux enfants comme indépendant, je trouve que sachant que la famille de deux enfants a une fille, il y a 1/(1+2s) chance qu'elle ait 2 filles (s étant le sex ratio, le nombre de garçons par filles à la naissance). Mais bon, ce sera jamais un "problème réel".

Tiens, au fait, question piège: je sonne à la porte d'une famille dont je sais qu'ils ont 2 enfants. Une fillette m'ouvre (et elle ressemble assez aux parents pour que je sois sûr qu'elle est leur fille). Quelle est la probabilité pour qu'ils aient 2 filles? Bourbaki 4 juillet 2006 à 17:39 (CEST)

[modifier] Petite suppression

Je retire le passage

Cette genre de considération est aussi grotesque que de faire intervenir l'age du capitaine. Elle ne fait que compliquer la situation, mais ne lève l'ambiguïté. Ces considérations sont le fruit d'une intuition insuffisamment analysée de l'ambiguïté du problème. Elles ne font que confirmer le trouble présent dans l'esprit qui cherche à défendre leur interprétation.

l'auteur a dû se tromper en l'insérant côté "article" :)

Indice pour Bourbaki: quand tu sonnes à la porte, tu es dans le cas d'une famille aléatractée. non rien

Ripounet 7 juillet 2006 à 01:44 (CEST)

On en a discuté dans nos pages persos, Ripounet et moi. Pour les autres: toute réponse de 1/3 à 1 convient, selon que vous considèriez les garçons comme trop feignants pour ouvrir la porte ou au contraire qu'ils feraient toujours l'effort à la place de leu sœur. Bourbaki 7 juillet 2006 à 22:29 (CEST)

[modifier] Désaccord de pertinence

Il y a longtemps que le bandeau aurait du être mis.

Bilan au 17 juillet 2006

  • La version actuelle, version de STyx ,est critiquée par HB en détail ici (lire Désaccord sur les conclusions de cet article), par Pfinge au même endroit (lire autre avis) , par Salle et Touriste, sa non neutralité a donné lieu à une négociation ici non suivie de modification
  • Il existe une version de HB ici qui tentait un compromis, annulée par STyx
  • Il existe une version proposée par Touriste là qui a l'accord de Jean luc W, de HB, de Salle
  • Il y a une version de Salle ici
  • Jacques Decour propose une autre version de compromis

L'article pour l'instant ne bouge pas. Je soupçonne que les mathématiciens sérieux ne perdent pas leur temps en polémiques stériles et n'aiment pas vraiment se faire traiter par le mépris (Touriste aurait selon STyx une attitude simpliste, les reproches faits à l'article proviendrait, selon STyx du fait qu'on ne l'aurait pas lu ou pas compris, les propos de HB sont simplistes selon STyx, la rédaction du complément, selon STyx, est bâclée) Toute tentative de modification de fond ou de refonte semble voué à l'échec car STyx y sera opposé. Je laisse donc le lecteur se faire son idée de la question en lisant les différentes propositions d'article. HB 17 juillet 2006 à 13:26 (CEST)

Euh le probleme est plutot que je suis en tourisme assez permanent en cette saison et non que je suis vexe ; je recommencerai a m´occuper de cet article a mon retour (poste avec enthousiasme depuis un poste internet avec vue sur un petit lac autrichien). Je n´oublie pas ce truc en cours ! --Touriste 17 juillet 2006 à 15:32 (CEST)
Alors bonnes vacances ;-) . Mais je laisse quand même le bandeau pour que les lecteurs aillent lire la page de discussion. HB 17 juillet 2006 à 16:22 (CEST)

Wappendorf Et bien... quelle discussion ! il y a plus d'infos ici que dans l'article !!! ... en tous les cas je suis content que le bandeau m'ai invité à lire la discussion ci-dessus, preuve si besoin en était que l'article est incomplet. Je ne sais ce qu'il est de la pertinence d'un article sur le "Paradoxe des deux enfants" vu que je n'en avait jamais entendu parler en tant que tel comme un cas d'école particulièrement intéressant (cfr discussion sur les articles inédits). A tout le moins, l'article de Martin Gardner mentionné par Jacques Decour a ce mérite d'apporter une référence. Si le hasard fait que je repasse par là un de ces 4 avec un peu de temps devant moi et que l'article n'est toujours pas corrigé je pourrais vous filer un coup de main mais rien n'est moins sur étant donné la polémique pour le moins "surréaliste" sur un sujet qui ne me semble pas "majeur"... Wappendorf 25 juillet 2006 à 21:38 (CEST)

[modifier] Trop long

Vraiment, cet article est bien trop long. L'article anglais est je trouve bien mieux, bien que plus court. Pourquoi donner tous ces points de vue ridicules ? Cela ne participe qu'a embrouiller le lecteur... Ce paradoxe est trivial et ne mérite vraiment pas tout ca. Une réponse claire au paradoxe serait plus utile (avec bien sur un lien vers le paradoxe de Monty Hall et a la limite une petite note pour dire que l'énoncé utilise "un", qu'on pourrait remplacer par "au moins un", au risque de tromper moins de monde et donc de perdre son status de paradoxe ^^) !

Par contre, l'exemple anglais de la question avec "l'ainé est un garcon" devrait etre inséré dans la version francaise car il aide a la comprehension de la question originale.

Frelaur 27 juillet 2006 à 00:02 (CEST)

Et si on supprimait, tout simplement? Tout le monde trouve l'article nul, et insignifiant aussi semblerait-il puisque personne n'a envie de perdre du temps à le modifier... Je proposerai à la suppression dans les jours qui viennent si personne ne manifeste d'intérêt soudain pour le sujet.Salle 27 juillet 2006 à 00:26 (CEST)
Non, je ne pense pas qu'il faille supprimer l'article. Le paradoxe est intéressant, assez connu, et mérite un article ! Mais dans sa forme actuelle, je trouve l'article francais bien trop confus, et on en resort plus embrouillé qu'avant de l'avoir lu. Je suis pour une simplification de l'article (a la maniere de l'article anglais en fait). Frelaur 27 juillet 2006 à 00:32 (CEST)
Aurait-on enfin trouvé un gentil contributeur qui va faire le travail sur lequel on est essentiellement tous d'accord depuis un moment? Je t'avoue que ce serait chouette...Salle 27 juillet 2006 à 00:48 (CEST)
Je veux bien refaire (qd j'aurai un peu plus de temps) un article plus propre et plus clair, en me basant notamment sur la version anglaise, mais si c'est pour qu'il soit annulé 2h plus tard par quelqu'un qui veut absolument conclure en disant que la reponse depend du contexte dans lequel la question est posée, ca me tente pas trop... Frelaur 27 juillet 2006 à 01:31 (CEST)
C'est le jeu de Wikipedia. Cela dit, le risque est faible : le désaccord est parti d'un antagonisme avec STyx, qui n'intervient plus depuis un moment. Ensuite, les autres ont exprimé des opinion diverses, mais on était globalement d'accord, il me semble, sur le fait que toute simplification et clarification serait un progrès conséquent...



(Jacques Decour)

[modifier] Nouvelle référence

J'ai trouvé par hasard (!) une nouvelle référence : le livre d'Arthur Engel Les certitudes du hasard (Aléas Editeur, 1990) traduction de Stochastik (Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1987).

Dans le chapitre 13, "Probabilités conditionnelles", l'auteur propose l'exercice suivant (section 13.2, exercice 9, page 194) :

Une famille a deux enfants. On sait qu'il y a au moins un garçon et que l'aîné est un garçon. Quelle est la probabilité que le cadet soit un garçon ?

Réponse page 314 : L'exercice ne peut être résolu : on ne précise pas la procédure aléatoire qui produit les informations sur la famille. On peut proposer la «solution» suivante : on part de l'ensemble {GG, GF, FG, FF}. Dans a) cet ensemble se réduit à {GG, FG, GF} et la réponse est 1/3. Dans b) l'ensemble se réduit à {GG,GF} et la réponse est 1/2.


Il y a bien sûr une bizarrerie : la réponse parle de a) et de b), au contraire de l'énoncé. On s'attendrait à ce que l'énoncé comporte deux questions distinctes : a) on sait qu'il y a au moins un garçon ; b) on sait que l'aîné est un garçon.


Quoi qu'il en soit, le point essentiel est le même que dans le texte de Martin Gardner que j'ai reproduit plus haut : on ne peut pas répondre si la procédure par laquelle l'information est obtenue n'est pas précisée.

De façon générale, si A et B sont deux événements (définis sans ambiguïté) d'un espace probabilisé (lui aussi non ambigu), il n'y a pas d'ambiguïté pour déterminer la probabilité conditionnelle de A sachant B.

En revanche, si A est un événement et B une assertion, on ne peut pas répondre à un exercice de la forme "On sait B; quelle est la probabilité de A?". Dans les cas les plus simples, on peut tenter de replacer cette question dans le cadre "probabilité conditionnelle de A sachant B" en interprétant l' assertion B comme un événement B. Mais cette démarche n'est pas rigoureuse si on ignore la façon dont l'information B est obtenue (voir le texte de Martin Gardner) ; dès que les questions se compliquent, on arrive à des discussions sans fin (voir ici-même !)

Ma conclusion : le "paradoxe des deux enfants" provient du fait que le problème est mal posé.

(Jacques Decour)

[modifier] Grossière erreur

Je suis partisan de dire que ce paradoxe n'en est pas un du tout. La question n'est pas forcément mal posé mais, c'est un règle élémentaire en probabilités, le monde n'est pas décrit : la tribu borélienne a utilisée n'est pas définie correctement. De nombreux problèmes de tests statistiques ou de probabilités ont des réponses variant en fonction de la description du problème, ce n'est ni un paradoxe ni un fait nouveau. On peut me rétorquer que c'est une vision mathématique mais demander une probabilité n'a de sens que dans le monde mathématique. Or ici ce paradoxe n'existe pas pour ceux qui connaissent correctement les probabilités.--Zzerome 25 septembre 2006 à 08:38 (CEST)

[modifier] Expérience de Milgram

C'est vraiment obligatoire de dire que la soumission au 2/3-1/3 relève du même phénomène que cette expérience? Très franchement, j'ai l'impression de lire que ceux qui pensent que 2/3-1/3 est la bonne réponse sont des bourreaux. Bourbaki 2 août 2006 à 21:08 (CEST)

Houlà, j'avais pas vu cet horrible paragraphe. Je temporise quelques heures, voire 1 ou 2 jours, et ensuite je le retirerai. A part ça je suis partisan du 2/3-1/3 et effectivement mon passe-temps favori consiste à arracher leurs pattes à des sauterelles, tout en écoutant miauler ma collection de chattons en bocaux :) Ripounet 2 août 2006 à 21:25 (CEST)
Fait. J'ai donné des conclusions un peu plus sereines. Bourbaki 30 août 2006 à 14:32 (CEST)

[modifier] Version courte

J'ai remplacé l'article par quelque-chose de beaucoup plus court. Ça manque encore d'explications formelles, notamment pour l'interprétation qui donne 1/2. Vous pouvez aussi reverter sans me prévenir si vous considerez que c'était mieux avant. Marc Mongenet 25 septembre 2006 à 15:08 (CEST)

Oh que non ce n'était pas mieux avant ! Merci bien d'avoir «été hardi», j'en tire un enseignement pour l'avenir, moi qui avais écrit une version courte dans mon espace utilisateur, jamais rapatriée ici ; ta façon de faire est clairement la bonne ! Touriste * (Discuter) 25 septembre 2006 à 15:12 (CEST)
Après avoir lu un peu plus de débats, je constate que je suis arrivé indépendamment à une version proche de ce qui a été déjà largement débattu (notamment proche de #Proposition_d.27organisation_de_l.27article). Croyez-le si vous voulez, mais je me suis lancé dans cet article en ignorant tout des disputes précédentes ! Je sais, j'aurais dû fouiller un peu plus les discussions avant de remanier l'article... Mais il était dans un état tellement déplorable que je ne m'imaginais pas que d'aussi bonnes solutions aient été proposées sans avoir été utilisées pour corriger l'article. :) Bon, ma version est un peu naïve, je laisse les professeurs de math revoir tout ça. Marc Mongenet 25 septembre 2006 à 15:20 (CEST)

[modifier] Ré-écriture complète

Cet article me semblait tout simplement mauvais.
Il prends une version ambigüe de l'énoncé, puis traite uniquement de cette ambigüité au lieu du fond.
Il contient une erreur logique : L'interprétation 2 omet respectivementds les cas FG et GF (tout en utilisant respectivement les cas GF et FG, un comble !).

La version initiale me semblait mieux, mais trop bavarde et dispersée. J'ai donc décidé de le réécrire complètement. Ça m'a mené beaucoup plus loin plus que je ne l'aurai cru, et je suis péniblement (après quelques jours !) arrivé à un texte qui me semble bien couvrir le sujet sans être un roman.

Il lui manque plus de rigueur dans les raisonnements et du formalisme - je laisse ça à ceux qui savent. Et vu que je pourrais très facilement avoir fait des erreurs, il faut le vérifier.
Mais ne vous aventurez pas à changer le sens logique de l'article si vous n'avez pas soigneusement étudié le problème. Il est très, mais alors vraiment très, piégeux.

C'est ma première intervention dans Wikipédia, j'espère ne pas avoir mis les pieds dans le plat.

Questions ouvertes :

  • Y a-t'il d'autre cas de corrélation du sexe des enfants que les vrai jumeaux ? Il me semble avoir lu que oui, mais je n'ai rien de concret.
  • Est-il correct de lister comme réponse « Rien ne lie le sexe des enfants, la probabilité est directement 1/2» ? C'est pas un raisonnement en soi...

Musaran 20 octobre 2006 à 21:11 (CEST)

Bienvenue et bravo pour ton intervention courageuse sur un sujet délicat. J'aimerais bien que tu précises pourquoi tu trouves que ta version est meilleure que la précédente. En première lecture, j'ai surtout eu l'impression que l'information était présentée de façon plus concise, et plus percutante dans la version antérieure, alors qu'elle est maintenant délayée. J'ai aussi remarqué dans ta version des affirmations sur la fréquence des interprétations qui me semblent hasardeuses, puisqu'elles ne sont pas sourcées. Cordialement, Salle 20 octobre 2006 à 21:39 (CEST)
La précédente était effectivement plus 'percutante', mais par trop simpliste et pas très explicative sur le fond. En cherchant j'ai découvert de multiples facettes a ce problème, j'ai essayé de couvrir l'essentiel au mieux de ce que je sais comprendre : dur de faire plus bref sans tronquer, ou de mieux expliquer sans aller au roman. Si ceux qui se proposaient de le refaire ne l'on pas fait, c'est qu'à mon avis ils s'y sont cassés la tête (j'ai mis 3 jours). Je sais que ma prose manque de lisibilité, éditions bienvenues...
Note : Je n'ai pas inclus les formules de probabilités des versions précédentes uniquement parce que je n'y connais rien et que j'ai vu à quel point les erreurs sont faciles et fréquentes.
Les fréquences, c'est mon impression d'après mon 'sens commun' et divers textes internet. Je peut les citer si nécessaire, mais il y a du moins bon et de l'anglais.--Musaran 24 octobre 2006 à 23:59 (CEST)
Désolé, mais ta version explique encore moins que celle de Marc Mongenet. J'aimerais mieux qu'on garde celle-là pour l'instant, il vaudrait mieux que tu tentes de mixer les pages sur un brouillon pour qu'on le regarde avant de transfèrer à la place de l'article. Pour les corrélations des sexes, mieux vaut s'en tenir à indiquer dans l'article qu'on les néglige. D'autre part je n'aime pas du tout le lien vers ce groupe google. J'ai l'impression que personne là-bas n'a saisi que si une fille ouvre la porte, ça ne correspond pas à l'énoncé "une famille de 2 enfants dont au moins une fille" qui mène au fameux 1/3. Bourbaki 4 décembre 2006 à 21:12 (CET)
Ton intervention me paraît raisonnable. Et désolé d'avoir commencé à répondre, et de mettre arrêté là ; j'avais tout simplement oublié.Salle 4 décembre 2006 à 21:24 (CET)

[modifier] Remaniement de l'article

Cet article est rempli d'erreurs, et cela est du au fait que des gens qui n'ont rien à voir avec les mathématiques et la logique y aient apporté leur grain de sel. Je propose donc ma vision de l'article, qui présente comment un énoncé mathématique DOIT être compris, et cela j'espère répondra aux questions que se posent certains.

L'énoncé du problème est ON NE PEUT PLUS CLAIR. Si autre interprétation il y a, elle provient du manque de rigueur et de sens logique de l'interprète, mais en aucun cas d'une imprécision de l'énoncé, qui est limpide. La réponse EST 1/3. Voila une version simple et épurée de l'article qui pourrait convenir après quelques modifications formelles (je ne connais pas trop la synthaxe de wikipedia), et ajout de références :


« Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ? » Ce célèbre énoncé mathématique peut paraitre ambigu et amener à deux solutions contradictoires : 1/2 et 1/3. En réalité c'est un faux paradoxe car la seule solution rigoureuse est 1/3. Néanmoins ce faux paradoxe est interessant car il insiste sur les précautions à prendre lorsqu'on interprète un énoncé mathématique de ce type.

Comment lire un énoncé de manière rigoureuse :

Tout d'abord il y a certaines hypothèses implicites liées au domaine des probabilités : - Il y a autant de filles que de garçons dans la population totale - Lors d'un naissance quelconque les probabilités qu'il naisse une fille ou un garçon sont les mêmes. Ensuite la seule manière rigoureuse de procéder est d'interpréter les informations en terme d'ensemble.

" Sachant qu'une famille a deux enfants " :

-> On se place dans I l'ensemble des familles à deux enfants. On a trois sous-ensembles disjoints de I selon le sexe des enfants : {FF} (deux filles), probabilité 1/4 dans I {FG} (une fille et un garçon), probabilité 1/2 dans I {GG} (deux garçons), probabilité 1/4 dans I

" et que l'un d'eux est un garçon " :

-> On prend le sous-ensemble des familles à deux enfants dont l'un (note1) est un garçon, J = {FG,GG}. La probabilité qu'une famille de l'ensemble total I appartienne à J = {FG,GG} est :

   prob(dans I)({FG}) + prob(dans I)({GG}) = 1/2 + 1/4 = 3/4

"quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ?"

-> A l'intérieur de ce sous-ensemble J on regarde la probabilité qu'une famille appartienne à l'ensemble {GG} des familles à deux garçons : prob(dans J)({GG}) = prob(dans I)({GG}) / prob(dans I)(J) = (1/4) / (3/4) = 1/3

La réponse au problème est donc 1/3.

L'énoncé ne souffre aucune autre interprétation rigoureuse. Les erreurs d'interprétations qui conduisent au raisonnement 1/2 peuvent se situer à deux endroits :

-Soit on fait le bon raisonnement ensembliste mais on se trompe grossièrement en pensant que {FF},{FG} et {GG} sont équiprobables dans I, de probabilité 1/3. -Soit on rajoute intuitivement des hypothèses qui pourtant n'apparaissent ou ne sont sous-entendues en aucun cas dans l'énoncé, et qui rendent la solution différente.


Exemple d'énoncé modifié qui mène à la solution 1/2 :

« Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'aîné est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ? »

-> On se place toujours dans l'ensemble I, mais cette fois on distingue deux-sous ensemble en fonction du sexe de l'aîné : {F} (l'aîné est une fille), de probabilité 1/2 dans I {G} (l'aîné est un garçon), de probabilité 1/2 dans I

-> Si on regarde l'ensemble {FG}, on peut le séparer en deux sous-ensembles disjoints suivant le sexe de l'ainé. En effet même dans le cas de jumeaux fille-garçon, l'un nait forcément avant l'autre. Soient donc : - {F'G} le sous-ensemble de {FG} tel que l'aîné soit la fille, de probabilité 1/2 dans {F} - {G'F} le sous-ensemble de {FG} tel que l'aîné soit le garçon, de probabilité 1/2 dans {G}

-> On a alors {G} qui est l'union disjointe des ensembles {G'F} et {GG} prob(dans {G})({GG}) = 1 - prob({G})(G'F) = 1 - 1/2 = 1/2

La réponse à ce problème, différent du problème initial, est donc 1/2


(note1) : Dans le langage mathématique il faut comprendre " au moins un ", et non pas " exactement un " (Il s'agit d'une convention, au même titre qu'on sous-entend "supérieur ou égal" lorsqu'on écrit "supérieur"). Cette confusion peut donner lieu à une interprétation encore différente de l'énoncé, appelée généralement "interprétation de Simplicio".



[modifier] Réponse à la dernière intervention

Je ne sais pas si l'auteur de la dernière intervention a lu toute la discussion. Je me permets de lui proposer de se reporter par exemple à ce que j'y ai écrit (Jacques Decour), cf citations de Gardner et Engel. Etant mathématicien, je connais bien cet exercice et sa formulation mathématique correcte :

« Quelle est la probabilité conditionnelle qu'une famille de deux enfants a deux garçons sachant qu'elle en a au moins un ?»

Pour ce problème de mathématiques, la réponse est 1/3 (avec les hypothèses implicites ne faisant pas difficulté). Si on ôte le « au moins », on peut considérer que cela ne change pas l'interprétation. Si on ôte le mot « conditionnelle », on perd en rigueur mathématique et l'énoncé devient ambigu : la réponse 1/3 est peut-être la plus raisonnable, mais elle devient une réponse de connivence (je devine ce qu'on veut me faire dire).


Examinons maintenant l'énonce proposé dans l'intervention précédente :

« Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ? »


Défauts de rigueur : «Sachant que » est mis au début; le mot « conditionnelle » est absent; la probabilité demandée est celle de l'évènement «l'autre est un garçon ». Or «l'autre est un garçon » n'est pas un évènement correctement défini. On le voit bien dans la formulation :

« Quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon, sachant que l'un est un garçon? »

A l'évidence, ce n'est pas une bonne formulation.

On touche ici du doigt un des points délicats : demander la probabilité que «la famille a deux garçons », ou celle que «l'autre est un garçon » n'est pas indifférent et crée une source d'ambiguïté; dans le premier cas, c'est une probabilité sur une famille, dans le second une probabilité sur un enfant.

Si on voulait éviter cette grave ambiguïté, tout en conservant la même structure d'énoncé, il faudrait au moins « Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que la famille ait deux garçons ? » La réponse de connivence serait probablement 1/3, mais je pense que ce dernier énoncé reste ambigu : tant qu'on ne précise pas la façon dont l'information «la famille a au moins un garçon» est obtenue, on ne peut pas être sûr de l'évènement par rapport auquel on doit conditionner. La règle d'or à mon avis : une assertion (une information) n'est pas un évènement tant qu'on ne précise pas le procédé aléatoire qui lui a donné naissance.

Conclusion : les énoncés du type « sachant que..., quelle est la probabilité de ...» ne sont pas rigoureux. On ne peut répondre que si on précise la façon d'obtenir l'information. Pour avoir un énoncé mathématique rigoureux, il faut une syntaxe rigoureuse : « Quelle est la probabilité conditionnelle de A sachant B» avec des évènements A et B bien précisés (voir aussi mes interventions antérieures).

(Jacques Decour)

[modifier] Formalisme...

Bonjour, je ne suis pas mathématicien, mais on peut toujours causer...

Il me semblerait intéressant de dire que le sexe d'un enfant est aléatoire, au moment où il naît.

Le formalisme {GF} doit être précisé. Si ça veut dire "un garçon comme aîné, puis une fille comme cadette", il faut le dire. A ce moment, il est naturel de dire que {GG}, {GF}, {FG} et {FF} sont équiprobables a priori dans une famille de deux enfants.

La version du problème où la solution est 2/3-1/3 est claire, et facile à résoudre, bien que contre-intuitive.

La version du problème de "un garçon ouvre la porte" est beaucoup plus dure à résoudre, car c'est la superposition de deux phénomènes aléatoires : les naissances, et le choix de l'enfant qui ouvre la porte. Il faut aller jusqu'au bout de la démonstration qui donne la solution 1/2-1/2 (je me garderai bien de le faire moi-même...), ou laisser tomber cette version du problème.

PierreL (d) 22 janvier 2008 à 14:54 (CET)

Salut,
je voulais donner mon avis alors le voila.
Commençons par une version bien formulée de la question : "sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons". Ici, premièrement, on raisonne par couples des prémisses à la question finale de l'énoncé (Je veux dire par couples, les 4 couples possible d'un 2-uplet dont les deux composantes sont du même ensemble {G,F}). Deuxièmement, rien dans l'énoncé n'indique la façon dont a été obtenu le sous-ensemble "des familles à deux enfants dont au moins un est un garçon". On doit donc considérer que l'expérience se déroule sur l'ensemble complet des familles à deux enfants dont un est un garçon, ce qui nous donne 1/3 de couple (G,F) et 1/3 de couple (F,G), soit 2/3 de paire (F,G), et un 1/3 pour la paire (GG) (un seul couple pour cette paire). Autrement dit, l'énoncé indique sans ambiguité que l'expérience se déroule dans un espace de probabilité contenant toutes les familles de deux enfants moins les familles avec 2 filles.
Soit dit en passant, toute relation d'ordre ("proba que le plus agé", "le plus gros", "le premier qu'on voit") entraîne pour réponse 1/2, à partir du moment ou le caractère ajouté dans l'énoncé est indépendant du caractère fille/garçon.
Reprenons la question paradoxale. « Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ? ». Personnellement, j'en vois une de relation d'ordre : on pose l'un ("L'UN"), puis la question ne porte que sur l'autre ("L'AUTRE"). On ne compte pas le nombre de garçons dans la fratrie, on pose une question ne concernant qu'un seul des deux enfants.
Pour moi, la question "pourquoi cette distinction ?" s'impose. J'ai deux solutions à proposer, qui sont avant tout sémantiques :
1. Cette distinction est superflue et trompeuse, c'est une erreur de formulation, il fallait bien dire "quelle est la probabilité qu'une famille ait deux garçons ?" ou "quelle est la probabilité que la famille ne comporte aucune fille ?". Réponse : 1/3.
2. Cette distinction a un sens, mais elle est aussi doublement trompeuse : tout d'abord on aurait du placer cette précision dans les prémisses plutôt que dans la question finale ! Trompeuse aussi car l'interprétation est (abusivement) implicite. Mais au moins elle est unique : Si la question ne considère que le sexe de "l'autre", c'est donc que l'on connait celui de "l'un" ; très implicitement, vicieusement, cela ne peut signifier qu'une chose : "l'un" est un garçon, et cela précise la façon dont on a selectionné les "familles à deux enfants dont au moins l'un est un garçon", en regardant le sexe (heu... non, mais bon) du premier venu. Ce qui nous donne bien un sous-ensemble qui satisfait au critère "au moins l'un des deux est un garçon". Et comme pour les paires (G,F) on a une chance sur deux de tomber d'abord sur la fille, on a éliminé de l'espace de probabilité de l'expérience la moitié des paires (G,F), soit 1/2*1/2=1/4 de l'ensemble des familles à deux enfants. Il nous reste toutes les paires (GG), et la moitié des paires (G,F). 1/4 et 1/4 de l'ensemble statistique totale des familles à 2 enfants donc 1/2 et 1/2 de l'espace de probabilité final (ahhhhhhhhhhhh).
En conclusion, la question comporte, ou bien une précision nulle et non avenue, ou bien une précision abusivement implicite, sans la moindre clarté, et c'est ce qui la rend plus mal-posée que paradoxale.
Provocateur : "si un examinateur croit, à tort, que la question est bien formulée, sans ambiguité, et n'accepte qu'une seule réponse, que faut-il lui répondre ?". Ma réponse intuitive est 1/3, paradoxalement étant donné mes arguments précédents, mais cela ne peut se vérifier que par l'expérience. oliv.