Discuter:Paradoxe des anniversaires

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Petit problème d'affichage

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Il me semble que la deuxième formule générale généralisée est fausse. Le dénominateur de l'exponentielle devrait être 2.|E| et non pas juste |E|. (source : les exemples, ainsi que la page en anglais du paradoxe des anniversaires). Quelqu'un pourrait-il confirmer ou infirmer ?

Oui, il y a un problème pour le passage de la formule donnant p(n) à la formule donnant n(p). En regardant sur le Wikipedia anglophone pour voir comment on avait fait l'approximation (qui est simplement un développement du premier ordre de ex lorsque x tend vers 0 (x = k/|E| avec k dans [[1;n]]) : e-x = 1 - x), je confirme qu'il y a un "2" en facteur de |E| dans le dénominateur (le 2 venant du fait que 1+2+...+(n-2)+(n-1) = n*(n-1) / 2). Je corrige la formule.
Aither (Me contacter) 11 juillet 2006 à 13:15 (CEST)

[modifier] je suis perplexe...

je veux bien admettre que le paradoxe soit mathématiquement prouvé. Et pourtant je n'ai rencontré dans toute ma vie qu'une seule personne ayant le même anniversaire que moi, et j'ai plus de 50 ans. Les probabilités ne sont que des probabilités, mais cela ne débouche pas forcément sur un résultat positif.--Sonusfaber 11 septembre 2006 à 23:35 (CEST)

Il ne faut pas être perplexe, il y a bien écrit:
[...] parce qu'elles confondent avec la probabilité qu'une personne donnée fête son anniversaire le même jour qu'une autre.
Et c'est justement ce que tu fais, car tu te bases sur ton anniversaire. J'ai vérifié, les calculs sont corrects. En fait, il faut réunir 50 personnes, demander à chaque personne leur aniversaire, et là, il est fort probable que 2 personnes aient le même jour, mais sans prévoir ce jour (pour 20 personnes, ça fait 41% de chances).
Si dans ce groupe, on note l'anniversaire d'une personne, et que l'on cherche une autre personne, effectivement, la probabilité est largement plus faible (1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{k - 1} si je ne me trompe pas). Par exemple, pour 20 personnes, cette probabilité est proche de 5%. Si l'on compare seulement 2 personnes, cette probabilité descends à 0.3%
Donc, si l'on compare par rapport à notre propre date anniversaire, on obtient des probabilités très faibles, mais en réunissant des personnes sans définir de jour, elle est beaucoup plus importante. Quelqu'un aurait-il essayé avec 50 personnes ?

[modifier] Paradoxe des anniversaires, proposition d'une autre formule.

       Je discerne dans votre démonstration de la probabilité d’au moins deux anniversaires simultanés dans
une même classe de lycée une hypothèse non explicite : vous envisagez des classes ordonnées, c’est-à-dire que

les mêmes élèves dans une salle de cours différente comptent pour deux dès lors qu’ils ne sont pas assis de la même façon. Je trouve cette hypothèse injustifiée. Cette façon de voir les choses s’apparente, par exemple, à la formation de mots de huit lettres en tirant ces lettres au hasard. La possibilité d’anagrammes oblige à tenir compte de l’ordre des lettres et votre calcul à l’aide d’arrangements me convient très bien. Par contre il ne me satisfait pas pour une classe d’élèves où aucun ordre ne s’impose naturellement. Ce cas est plus proche du jeu de dominos qui ne comporte que vingt-huit pièces réputées différentes (combinaisons de sept chiffres deux à deux avec répétition) et vingt-et-un « non-doubles » (combinaison de sept chiffres deux à deux sans répétition), soit sept doubles et une probabilité d’occurrence de 1/4, contre 1/7 avec vos hypothèses.

La différence est sensible.

Je vous propose donc la formule p(n) = 1-[364. … . (366-n)]/[366. … .(364+n)] qui donne les résultats suivants :

p(10) = 22 % p(16) = 48 % p(17) = 52 % p(50) = 99,88 %.

P.Miquel

[modifier] Doute sûrement infondé

Bonjour, vous écrivez :

\overline{p}(n)\approx e^{-\frac{ n^2}{2\cdot 365}}

En revenant à p(n) :

p(n)\approx 1- e^{-\frac{ n^2}{2\cdot 365}}

Ce qui signifie que vous effectuez les étapes (en détaillant beaucoup) :

\overline{p}(n)\approx e^{-\frac{ n^2}{2\cdot 365}}

or \overline{p}(n)=1-{p}(n)

d'où : 1-{p}(n)\approx e^{-\frac{ n^2}{2\cdot 365}}

jusqu'ici tout va bien, mais pour passer à l'étape d'après vous sommez des équivalents, ce qui est très interdit à ma connaissance... (ajout de -exp()+p(n) de chaque côté.)

Riiicoolaaa 29 août 2007 à 17:36 (CEST)

Une probabilité ne s'exprime pas en pourcentage est un nombre compris entre 0 et 1. Ahem... FredericKetch 10 octobre 2007 à 13:42 (CEST)