Opérations sur les dérivées

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Le calcul de la dérivée de certaines fonctions à valeurs réelles ou complexes (ou plus généralement dans un corps topologique) peut être effectué en utilisant un certain nombre d'opérations sur les dérivées, notamment certaines liées aux opérations sur les nombres réels et complexes. Les démonstrations de ces propriétés dérivent des opérations sur les limites.

Dans tout l'article, on note $f$ et $g$ deux fonctions qu'on suppose dérivables.

[modifier] Linéarité

La dérivation est un opérateur linéaire, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par somme et multiplication de ses éléments par des réels (c'est un espace vectoriel réel), et les relations suivantes sont vérifiées :

$\bigl(\alpha f\bigr)'=\alpha f'$ , $\bigl(f+g\bigr)' = f'+g'$ .

[modifier] Composition

La composition de deux fonctions dérivables est dérivable, là où elle est définie (précisément sur l'image réciproque par $f$ du domaine de définition de $g$ ) et se calcule suivant la règle :

$(g \circ f)' = f' \cdot (g' \circ f)$ .

Cette règle admet pour conséquence la règle de calcul de l'inverse d'une fonction (on se place sur un intervalle sur lequel $f$ ne s'annule pas), en utilisant le calcul élémentaire de la dérivée de la fonction $x\mapsto \tfrac1x$ :

$\left( \frac{1}{f} \right)' = -\frac{f'}{f^2}$

[modifier] Produit et quotient

La dérivation est un opérateur différentiel, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par multiplication, et la formule de Leibniz est vérifiée :

$\bigl(fg\bigr)' = f'g + fg'$ .

Démonstration

On montre la relation en un point $x 0$ appartenant aux domaines de dérivabilité de $f$ et de $g$ . Le taux de variation de $f g$ s'écrit en ce point :

$T_{fg}(x,x_0) = \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}$ .

À titre d'artifice de calcul, introduisons le terme neutre $- f (x) g (x 0) + g (x 0) f (x)$ :

$T_{fg}(x,x_0) = \frac{f(x)g(x) \overbrace{- f(x)g(x_0) + g(x_0)f(x)}^0 - f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}$ .

En factorisant les termes, on reconnaît les taux de variation de $f$ et $g$ :

$T_{fg}(x,x_0) = f(x) \underbrace{\frac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0}}_{T_g(x,x_0)} + g(x_0) \underbrace{\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}}_{T_f(x,x_0)}$ .

En passant à la limite, et sachant que la dérivabilité implique la continuité, les quatre relations suivantes sont vraies :

$\begin{align} \lim_{x\to x_0} T_{f}(x,x_0) &= f'(x_0) & \lim_{x\to x_0} f(x) &= f(x_0) \\ \lim_{x\to x_0} T_{g}(x,x_0) &= g'(x_0) & \lim_{x\to x_0} g(x) &= g(x_0) \end{align}$ .

Enfin, sachant que la limite d'un produit est égale au produit des limites :