Opérations sur les équivalents

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Dans cet article, on fait le point sur les opérations qu'on a le droit d'effectuer sur les équivalents

Sommaire

1 Règles simples
2 Règles plus subtiles
- 2.1 Composition
3 Opérations interdites, contre-exemples
- 3.1 Somme, différence
- 3.2 Composition de fonctions
  - 3.2.1 Exponentielle
  - 3.2.2 Logarithme

[modifier] Règles simples

[modifier] Inversion

Soient $f, g$ deux fonctions qui, localement, sont non-nulles au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$ ). En particulier, on peut définir leurs inverses. Alors :

Si $f\sim_a g$ , on a $\frac{1}{f}\sim_a\frac{1}{g}$ .

Démonstration

Tout simplement, on sait qu'on a $\frac{f}{g}\to 1$ quand $x \to a$ . Tenant compte des opérations sur les limites autorisées, on a donc $\frac{1}{\frac{f}{g}}=\frac{g}{f}=\frac{\frac{1}{f}}{\frac{1}{g}}\to 1$ , et donc $\frac{1}{f}$ et $\frac{1}{g}$ qui sont équivalentes en $a$ .

[modifier] Produit

Soient les fonctions $f_1\,$ , $f_2\,$ , $g_1\,$ , $g_2\,$ . On a alors :

Si $f_1 \sim_a g_1$ et $f_2 \sim_a g_2$ alors

f 1 f 2 ˜ a g 1 g 2

Démonstration

On fait la démonstration dans le cas plus simple où on peut caractériser l'équivalence par la limite du quotient. On a ainsi : $\frac{f_1}{g_1}$ et $\frac{f_2}{g_2}$ tendent vers $1$ quand $x\to a$ et il en est donc de même pour leur produit . C'est-à-dire : $\frac{f_1 f_2}{g_1 g_2}\to 1$ . Cela signifie bien que $f 1 g 1$ et $f 2 g 2$ sont équivalentes.

[modifier] Multiplication par un scalaire

Soient les fonctions $f, g$ et $\lambda \in \mathbb{C}^*$ . On a alors :

Si $f \sim_a g$ alors

λ f ˜ a λ g

Démonstration

C'est un cas particulier de la règle sur le produit des équivalents avec $(f 1, g 1) = (f, g)$ et les fonctions $f 2, g 2$ constantes égales à $λ$ .

[modifier] Quotient

Soient les fonctions $f_1\,$ , $f_2\,$ , $g_1\,$ , $g_2\,$ . On suppose que $f 2$ et $g 2$ ne s'annulent pas localement autour de $a$ . On a alors:

Si $f_1 \sim_a g_1$ et $f_2 \sim_a g_2$ alors $\frac{f_1}{f_2} \sim_a \frac{g_1}{g_2}$ .

Démonstration

D'après la règle sur l'inversion, on a $\frac{1}{f_2}\sim_a \frac{1}{g_2}$ . On applique ensuite la règle sur le produit.

[modifier] Puissance

Soient les fonctions $f \,\!$ , $g \,\!$ et $n \in \mathbb{N}^*$ . On a alors :

Si $f \sim_a g$ alors $f^{n} \sim_a g^{n} \,\!$ .

Démonstration

C'est un cas particulier de la règle sur le produit des équivalents. $f^n=f \,\!$ ×...× $f$ , n fois.

[modifier] Règles plus subtiles

[modifier] Composition

Il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers:

Soient $f\,$ et $g\,$ deux fonctions définies sur un voisinage V de a (sauf peut-être en a):

$\lim_{x \to a}{(f-g)(x)}=0 \Rightarrow e^f \sim_a e^g$

démonstration

$\lim_{x \to a}{(f-g)(x)}=0 \Rightarrow \lim_{x \to a}{e^{(f-g)(x)}} = e^0 = 1 \Rightarrow \lim_{x \to a}{\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}} = 1 \Rightarrow e^f \sim_a e^g\,$

Soient $f\,$ et $g\,$ deux fonctions définies sur un voisinage V de a (sauf peut-être en a), strictement positives sur V, telles que $f \sim_a g$ et $\lim_{x \to a} f(x) \ne 1$ . Alors on a: $\ln \circ f \sim_a \ln \circ g$ .

démonstration

On a:
$\frac{\ln(f(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)}g(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})+\ln(g(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{\ln(g(x))}+1$
De plus, $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$ donc $\lim_{x \to a}{\ln \frac{f(x)}{g(x)}} = \ln(1) = 0$
Or $\lim_{x \to a}g(x) = \lim_{x \to a}f(x) = l \in \overline{\mathbb R}-\{1\}$ donc $\lim_{x \to a}\ln(g(x)) \in \overline{\mathbb R}^*$ donc $\lim_{x \to a}\frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{\ln(g(x))} = 0\,$ donc $\lim_{x \to a}\frac{\ln(f(x))}{\ln(g(x))} = 1$ donc $\ln \circ f \sim_a \ln \circ g$

Remarque: si $\lim_{x \to a}f(x) = 1$ alors $\ln \circ f \sim_a f - 1$

démonstration

$\lim_{x \to a}\frac{\ln(f(x))}{f(x) - 1} = \lim_{x \to a}\frac{\ln(1+f(x)-1) - \ln(1)}{f(x)-1} = \lim_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h}$ avec $h = f(x)-1\,$ . Remarquons que $\lim_{x \to a}h = \lim_{x \to a}f(x) - 1 = 1 - 1 = 0$ . On reconnaît la dérivée du logarithme en 1, qui vaut 1. Donc $\lim_{x \to a}\frac{\ln(f(x))}{f(x)-1} = 1$ donc $\ln \circ f \sim_a f - 1$ .

[modifier] Opérations interdites, contre-exemples

[modifier] Somme, différence

Dans le cas général, on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes; il faut donc repasser par la limite du quotient. Par exemple, on a pour un $x$ réel:

$\left\{\begin{array}{l}x+x^2\sim_0x \\ -x+x^3\sim_0 -x \end{array} \right.$