Opération élémentaire

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En algèbre linéaire, les opérations élémentaires sur une famille de vecteurs sont des manipulations algébriques qui ne modifient pas les propriétés d'indépendance linéaire, ni le sous-espace vectoriel engendré. Elles sont faciles à décrire sous forme de code et permettent l'écriture d'algorithmes, par exemple pour le calcul du rang. Les opérations élémentaires sont au nombre de trois : échange, multiplication d'un des vecteurs par un scalaire non nul, et ajout d'un des vecteurs à un autre.

L'écriture matricielle facilite grandement l'utilisation des algorithmes. Elle apporte également la possibilité de travailler sur les systèmes de vecteurs colonnes ou de vecteurs lignes. Les opérations élémentaires s'interprètent comme des multiplications par des matrices élémentaires. Par application systématique d'opérations élémentaires bien choisies, il est possible de transformer une matrice en une autre plus simple (par exemple, une matrice de forme échelonnée). Suivant les opérations admises, il existe ainsi plusieurs théorèmes de réduction par utilisation d'opérations élémentaires, qui s'interprètent matriciellement comme des propriétés de factorisation.

Sommaire

1 Opérations élémentaires sur une famille de vecteurs
2 Opérations élémentaires sur des matrices
3 Échelonnement
- 3.1 Action à gauche du groupe linéaire
- 3.2 Décomposition PA=LU
4 Double échelonnement
5 Réduction d'endomorphismes
6 Références
- 6.1 Liens internes
- 6.2 Sources

[modifier] Opérations élémentaires sur une famille de vecteurs

Soit $(x_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs d'un espace vectoriel E et X le sous-espace engendré par cette famille. Les opérations élémentaires sur cette famille de vecteurs sont

la multiplication d'un des vecteurs par un scalaire non nul
l'ajout d'un multiple d'un des vecteurs de la famille à un autre
l'échange de deux vecteurs

La famille obtenue après une ou plusieurs opérations de ce type engendre encore le même espace X. En outre si la famille initiale est une base de X, celle obtenue après opérations en est également une base.

Si l'espace X est de dimension finie, cette dimension est appelée rang de la famille et est inchangée par les opérations élémentaires.

Exemple

Vect(u, v, w) = Vect(u, v, w - 2 u) = Vect(u, v, w - 2 u + v) = Vect(u,3 v, w - 2 u + v) = Vect(3 v, w - 2 u + v, u)

Attention : la deuxième opération n'est pas le remplacement d'un des vecteurs par une combinaison linéaire quelconque de vecteurs de la famille.

[modifier] Opérations élémentaires sur des matrices

[modifier] Codage

Une matrice ayant n lignes et p colonnes peut être vue comme un système de n vecteurs colonnes, ou un système de p vecteurs lignes. Les opérations élémentaires sur l'un ou l'autre des systèmes peuvent être décrites en utilisant les lettres L pour les lignes, C pour les colonnes, suivies de l'indice.

Ainsi $L_2 \leftarrow 3 L_2$ est l'opération « remplacer la ligne 2 par 3 fois la ligne 2 », c'est-à-dire multiplier la ligne par 3.

De même $C_2\leftarrow C_2-3C_1$ est l'opération « ajouter (- 3) fois la colonne 1 à la colonne 2 ».

Enfin l'échange de la première ligne avec la troisième s'écrira $L_1\leftrightarrow L_3$ .

[modifier] Effet

Opérer sur les lignes ou les colonnes conduit à des résultats assez proches, puisque toute opération sur les lignes d'une matrice A peut être considérée comme une opération sur les colonnes de sa transposée.

Les opérations élementaires sur les colonnes ne changent pas le rang de la matrice. Elles ne modifient pas non plus l'espace image de A.

Les opérations élémentaires sur les lignes ne modifient pas le rang non plus, et préservent l'espace image de la transposée de A.

Si A est une matrice carrée, le déterminant est lui modifié par l'échange de lignes ou de colonnes (qui transforme le déterminant en son opposé) ou par la multiplication d'une ligne ou d'une colonne par un scalaire (qui multiplie le déterminant par le même scalaire).

[modifier] Interprétation multiplicative

À chaque opération élémentaire est associée une matrice élémentaire telle que multiplier A à gauche par cette matrice donne le même effet que l'opération.

Code de l'opération	Matrice élémentaire E	$A= \begin{pmatrix} L_1\\ L_2 \\ L_3 \end{pmatrix}$
$L_1\leftrightarrow L_2$	$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$	$EA=\begin{pmatrix} L_2\\ L_1 \\ L_3 \end{pmatrix}$
$L_3\leftarrow 5L_3$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$	$EA=\begin{pmatrix} L_1\\ L_2 \\ 5L_3 \end{pmatrix}$
$L_3\leftarrow L_3+5L_2$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}$	$EA=\begin{pmatrix} L_1\\ L_2 \\ L_3 +5L_2 \end{pmatrix}$

Opérer sur les lignes d'une matrice A revient donc à la multiplier à gauche par une matrice inversible, produit de matrices élémentaires.

De même opérer sur les colonnes de A revient à la multiplier à droite par une matrice inversible.

[modifier] Échelonnement

L'échelonnement est un procédé d'opération sur les lignes des matrices qui conduit à une matrice échelonnée. Il est utile pour le calcul de rang ou de déterminants, la résolution de systèmes linéaires.

Théorème d'échelonnement

Par des opérations élementaires sur les lignes, toute matrice peut être transformée en une matrice échelonnée. C'est-à-dire qu'une matrice rectangle A est de la forme A=PE en notant P une matrice inversible et E une matrice échelonnée de même rang que A.

[modifier] Action à gauche du groupe linéaire

La méthode peut être poursuivie pour obtenir un résultat d'existence et d'unicité. Par opérations élémentaires, toute matrice peut être transformée en une matrice échelonnée réduite, c'est-à-dire une matrice échelonnée dans laquelle les pivots valent 1 et sont surmontés par des 0. Une telle décomposition est alors unique.

Le vocabulaire des actions de groupe permet de rendre compte de la situation. Le groupe $GL_p(\mathbb{K})$ des matrices inversibles agit à gauche par translation sur ${\mathcal M}_{p,q}(\mathbb{K})$ . Chaque orbite pour cette action contient un représentant privilégié, qui est l'unique matrice échelonnée réduite de l'orbite.