Nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique

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La nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique, autrement écrit en termes mathématiques : g_αβ;γ = 0 peut se démontrer de deux façons :

• par un raisonnement mathématique, en posant explicitement le calcul avec les coefficients de Christoffel ;
• par un raisonnement physique, dans le cadre de la Relativité générale.

Détail du raisonnement physique : le principe d'équivalence stipule qu'il est toujours possible de trouver un référentiel lorentzien local où les dérivées premières de la métrique sont nulles, c'est-à-dire : g_αβ,γ = 0. Or, les coefficients de Christoffel ne dépendent que des dérivées premières de la métrique, on a donc : Γ_αβγ = 0 et g_αβ;γ = 0.

Cette relation tensorielle étant vraie dans tout référentiel lorentzien local, d'après le principe d'équivalence, elle l'est également dans un référentiel quelconque.

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