Nombre dual

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En mathématiques et en algèbre abstraite, les nombres duaux sont une algèbre associative unitaire commutative à deux dimensions sur les nombres réels, apparaissant à partir des réels par adjonction d'un nouvel élément $\varepsilon\,$ avec la propriété

$\varepsilon^2 = 0\,$ ( $\varepsilon\,$ est un élément nilpotent).

Chaque nombre dual est de la forme $z = a + b~\varepsilon\,$ avec a et b uniquement déterminé par des nombres réels. Le plan de tous les nombres duaux est un "plan complexe alternatif" qui complète le plan des nombres complexes ordinaire $\mathbb{C}$ et le plan des nombres complexes fendus. Le "cercle unité" des nombres duaux consiste aux cas a = 1 ou −1 puisque ceux-ci satisfont $z~z^* = 1\,$ où $z^* = a - b~\varepsilon\,$ .

Néanmoins, $exp(b~\varepsilon) = 1 + b~\varepsilon\,$ , donc la fonction exponentielle appliquée sur l'axe des $\varepsilon\,$ couvre seulement à moitié le "cercle".

Cette construction peut être étendue plus généralement : pour un anneau commutatif R, on peut définir les nombres duaux sur R comme le quotient de l'anneau des polynômes $\mathbb{R}[X]\,$ par l'idéal $(X^2)\,$ : l'image de X alors possède des carrés égaux à zéro et correspond à l'élément $\epsilon\,$ comme ci-dessus. L'anneau et ses généralisations joue un rôle important dans la théorie algébrique des dérivations et des différentielles de Kähler (formes différentielles purement algébriques).

Sur un anneau R quelconque, le nombre dual $a + b~\varepsilon\,$ est une unité (i.e. inversible multiplicativement) si et seulement si a est une unité dans R. Dans ce cas, l'inverse de $a + b~\varepsilon\,$ est $a^{-1} + ba^{-2}\varepsilon\,$ . Comme conséquence, nous voyons que les nombres duaux sur un corps quelconque (ou anneau local commutatif quelconque) forme un anneau local.

[modifier] Applications

Une application des nombres duaux est la dérivation algorithmique. Considérons les nombres duaux ci-dessus. Étant donné un polynôme réel quelconque $P(x)=p_0+p_{1}x+p_{2}x^2+\ldots+p_{n}x^{n}\,$ , on peut étendre directement le domaine de ce polynôme des réels vers les nombres duaux. Ainsi, nous avons ce résultat : $P(a+b\varepsilon) = P(a)+bP'(a)\varepsilon\,$ , où $P'\,$ est la dérivée de P. En calculant sur les nombres duaux, plutôt que sur les réels, nous pouvons utiliser ceci pour calculer les dérivées des polynômes. Plus généralement, nous pouvons définir la division sur les nombres duaux et ainsi, avoir accès à la définition des fonctions transcendantes des nombres duaux, en définissant

$f(a+b\varepsilon)=f(a)+bf'(a)\varepsilon\,$ .

En calculant les compositions de ces fonctions sur les nombres duaux et en examinant les coefficients de $\varepsilon\,$ dans le résultat, nous voyons que nous avons automatiquement calculé la dérivée de la composition.

[modifier] Applications en physiques

Les nombres duaux trouvent des applications en physique, où ils constituent un des plus simples exemples non-triviaux d'un superespace. La direction le long d' $\varepsilon\,$ s'appelle la direction "fermionique", et le composant réel est appelé la direction "bosonique". La direction fermionique a gagné son nom à partir du fait que les fermions obéissent au principe d'exclusion de Pauli : avec un échange de coordonnées, la fonction d'onde de mécanique quantique change de signe, et ainsi disparaît si deux coordonnées sont mises ensembles; cette idée physique est contenue dans la relation algébrique $\varepsilon^2 = 0\,$ .