Nombre Carol

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Le nombre Carol est un entier de forme 4n − 2n + 1 − 1. Une formule équivalente est (2n − 1)2 − 2. Les quelques premiers nombres Carol sont:

-1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527 la séquence A093112 de l'OEIS

Pour n > 2, la représentation binaire du nième nombre Carol est (n - 2) 1 consécutifs, un zéro dans le milieu, et (n + 1) 1 consécutifs suivants, dit de manière algébrique

\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}

Par exemple, 47 est égal à 101111 en binaire, 223 est égal à 11011111, etc. La différence entre nième Nombre premier de Mersenne et le nième nombre Carol est 2n + 1. Ceci donne une nouvelle expression équivalente pour les nombres Carol, (22n − 1) − 2n + 1. La différence entre le nième nombre de Kynea et le nième nombre Carol est la (n + 2)ième puissance de deux.

Commençant par 7, chaque troisième nombre Carol est un multiple de 7. Ainsi, pour un nombre Carol étant aussi un nombre premier, son index n ne peut pas être sous la forme 3x + 2 pour x > 0. Les quelques premiers nombres Carol qui sont aussi premier sont 7, 47, 223, 3967, 16127 (ils sont listés dans Sloane A091516). En 2005, le plus grand nombre Carol connu qui est aussi un premier est le nombre Carol pour n = 226749, approximatevement 3,16937497264887779 x 10136516. Il a été trouvé par Steven Harvey au début de l'année 2005, utiliant MultiSieve et PrimeForm.

  • MAPLE program:
  • Copy Maple:[seq (((stirling2(n,2))^2-2) ,n=2..23)];#
 [-1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207,

       16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223,

       17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623,

       4398042316799, 17592177655807]

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