Discuter:Nombre transcendant

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J'ai modifié la partie suivante:

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 = 0$

où $n \ge 1\,$ et les coefficients $a_i\,$ sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), tous différents de 0.

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 = 0$

où $n \ge 1\,$ et les coefficients $a_i\,$ sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), dont l'un au moins est non nul.

J'avoue que ça fait longtemps que je n'ai pas fait de math. Cependant, les racines de l'équation $x 2 - 2 = 0$ sont bien des nombre algébrique et on a cependant $a 1 = O$ . Si quelqu'un ayant fait des math plus récemment que moi pouvait confirmer.

--Xavier Combelle 28 août 2005 à 22:02 (CEST)

D'aucuns disent non tous nuls, mais pour une définition de début d'article, mieux vaut être explicite et la moins ambigu possible. Rude Wolf 16 février 2008 à 01:31 (CET)

[modifier] Formulation de la définition

La remarque de Xavier Combelle est parfaitement exacte. La modification de Jean-Luc W. n'apporte aucun changement sur le fond : c'est une simple question de notation ; en effet, dans la mesure où un coefficient au moins est non nul, il suffit d'appeler n le plus grand des indices k tels que a_k ≠ 0 : c'est justement la définition du degré d'un polynôme.

Il serait souhaitable (et plus clair) que le mot degré apparaisse explicitement. On pourrait proposer ce qui suit :

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale de degré n (n ≥ 1) à coefficients $a_i\,$ entiers (ou, de manière équivalente, rationnels):

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0 = 0$

(dire que l'équation est de degré n signifie que $a_n \neq 0$ )

ou encore :

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucun polynôme P de degré n (n ≥ 1) à coefficients $a_i\,$ entiers (ou, de manière équivalente, rationnels):

$P = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1}+ \cdots + a_1 X + a_0$

(dire que le polynôme est de degré n signifie que $a_n \neq 0$ ).

Vivarés 23 novembre 2005 à 17:05 (CET)

Pas d'accord. La notion de degré n'intervient pas dans la définition de nombre algébrique, inutile de compliquer la définition en l'introduisant (à mon avis). D'autant plus si on prétent définit en même temps ce qu'est ce degré qui ne sert à rien ! L'irruption du nombre "n" risque de perturber le lecteur plus que de l'éclairer, surtout dans la formulation proposée qui donne l'impression que n est connu à l'avance. FvdP 23 novembre 2005 à 19:30 (CET)

[modifier] il y a une contradiction

Dans la partie "Nombres transcendants connus et problèmes ouverts"

le 4eme point dit que le 7eme pb de hilbert (transcendance de a^b) est non résolu, alors que 2 ligne au dessu on dit qu'il a été demontré "en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider".

de plus juste en dessous de ce dernier endroit, on donne 2 exple de nombre transcendant trouvé grace à la formule $a b$ : $2^{\sqrt[]{2}}$ et $e π$ , or "a" doit etre algebrique, et "e" ne l'est pas, donc ce dernier exple n'est pas à sa place je pense.

[modifier] Nombres complexes transcendants.

Il y a lieu de distinguer les nombres réels transcendants, c'est à dire ceux parmis les nombres réels qui sont transcendant (sur les rationnels) de la notion générale de nombre transcendant. Par exemple on peut s'intéresser à la transcendance des nombres p-adiques. Même si l'on peut plonger les nombres p-adiques dans les nombres complexes, ce n'est pas chose aisée, et de toute façon un nombre p-adique (une classe de suites de Cauchy pour la norme p-adique, pour la construction par complétion métrique) n' est pas un nombre complexe (construction analogue). Rude Wolf 16 février 2008 à 01:38 (CET)

[modifier] Traduction incorrecte

"Éventuellement périodique" est une traduction mot à mot de l'anglais (eventually periodic), qui ne veut rien dire en français. Eventually se traduit par "finalement" en français ; une traduction correcte serait : "périodique à partir d'un certain rang". Vivarés (d) 1 mai 2008 à 17:13 (CEST)

[modifier] Catégorisation

Je ne vois pas trop l'utilité de ces nouvelles catégorisations, mais il faudrait quand même être cohérent : si "transcendant" n'est pas un "type de nombre", pourquoi "algébrique" le serait-il?--Michel421 (d) 15 mai 2008 à 23:01 (CEST)

« Transcendant » est bien un type de nombres. Il est dans la sous-catégorie éponyme. Ambi graphe, le 15 mai 2008 à 23:27 (CEST)

Plus exactement, la transcendance ne caractérise pas un type de nombre, mais s'oppose au type « algébrique » et en ce sens il m'a semblé concevable de le catégoriser aussi ainsi. Ambi graphe, le 16 mai 2008 à 20:40 (CEST)

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Sommaire

[modifier] Formulation de la définition

[modifier] il y a une contradiction

[modifier] Nombres complexes transcendants.

[modifier] Traduction incorrecte

[modifier] Catégorisation

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