Discuter:Nombre normal

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Je viens de suprimer le mot "aléatoire" de la définition de nombre réel parce que ça ne va pas. Le nombre de Champernowne est normal et néanmoins il n'est pas du tout aléatoire meme ni dans le sense statistique ni sous la définition de la théorie algorithmique de l'information. Alors je l'ai changé par "equi-distribué" qui peut-etre n'est pas le meilleur mais beaucoup mieux et prècis. À la fin ce qui défini avec tout precision le concept c'est la définition donné en suite dans l'article. ici

[modifier] recopié de Projet:Mathématiques/problème sur un article

Cette page de discussion n'a pas l'air d'attirer les foules, mais je tente... L'article nombre normal prétend qu' « Aucun nombre rationnel n'est normal dans aucune base, puisque la suite de chiffres dans le développement des nombres rationnels est périodique à partir d'un certain rang. » Or, le rationnel 1234567890/9999999999 = 0,1234567890123456789... me semble tout ce qu'il y a de plus normal en base 10. En fait, je penche pour une mauvaise traduction de (en) « No rational number is normal to any base, since the digit sequences of rational numbers are eventually periodic. » Voilà, j'ose pas toucher moi-même les articles de maths, donc si quelqu'un a 5 minutes pour jeter un coup d'œil... ;)--Image:Sgmsm.png ma pagediscuter 16 mars 2007 à 09:09 (CET)

d'après en: il semble qu'il y a deux concepts : un nombre "simply normal" (traduction classique en français : ???) a ses chiffres équidistribués, et ton exemple montre que les rationnels peuvent l'être. Mais la notion de "nombre normal" est plus forte : il faut que les séquences de deux chiffres soient toutes équiprobables, celles de trois chiffres aussi, etc. Et là aucun rationnel ne peut être normal au sens fort. Quelqu'un connaît -il les dénominations standard en français ? Peps 16 mars 2007 à 10:01 (CET)
Dans tous les exposés auxquels j'ai assisté sur cette notion, l'expression nombre normal désignait bien la propriété forte. Mais la propriété faible n'y était pas envisagée.Salle 16 mars 2007 à 10:23 (CET)


Je ne connaissais pas les nombres normaux. À la lecture de l'article, je propose les définitions suivantes :

On note

- N : ensemble des nombres entiers

- Z : ensemble des nombres relatifs

- R : ensemble des nombres réels

Pour A dans R et b dans N avec b > 1, on note :

- x la suite des chiffres de A dans la base b

- pour k et n dans N vérifiant n > k >= 1 et s dans (Z/bZ)^k, N(s,n) le nombre d'apparition la suite s parmi les n premiers chiffres de x.

On peut alors écrire la définition suivante :

A dans R est simplement normal en base b

<==>

qq soit k dans N* et qq soit s dans (Z/bZ)^k, on a

\lim_{n\to\infty} \frac{N(s,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}

On peut ensuite étendre cette définition de la manière suivante :

A dans R est normal

<==>

qq soit b dans N, b > 1, qq soit k dans N* et qq soit s dans (Z/bZ)^k, on a

\lim_{n\to\infty} \frac{N(s,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}


Je laisse les pros valider ....


Par ailleurs, à la formule "presque tous les nombres réels sont normaux", j'aurais préféré "l'ensemble des nombres normaux est dense dans R" au sens où qq soit x dans R et qq soit e>0, il existe A normal tq |A-x|<e ... La mesure de Lebègue est sûrement une excellente référence, mais elle est quand même moins accessible que la notion de densité, non ?

La différence d'accessibilité ne me semble pas si importante (L2 vs L3 en France, il me semble, et encore on revient beaucoup sur la densité en L3) qu'il faille choisir de modifier aussi radicalement l'énoncé du résultat. D'ailleurs, je doute, au vu de WP:NPOV, qu'une raison d'accessibilité doive jamais nous faire choisir une telle modification. Salle (d) 6 février 2008 à 17:49 (CET)
En outre, la notion de densité ne dit pas du tout qu'il y a « beaucoup » de nombres normaux. Rappelons que les rationnels sont denses dans R. Le fait que les nombres normaux forment une partie dense est une évidence. Le fait qu'ils forment une partie essentielle de R est bien moins trivial. Ambigraphe, le 6 février 2008 à 19:46 (CET)