Multivecteur

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Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Interprétation
4 Bibliographie

[modifier] Définition

Soit $\mathbf{R}^n$ l'espace ambiant, muni de sa base orthonormée canonique

$e_1, ... , e_n\,$

Il l'on se donne m vecteurs $v 1,..., v m$ , on peut utiliser le produit extérieur pour former ce qu'on appelle un multivecteur ou encore m-vecteur v:

$v = v_1 \wedge ... \wedge v_m$

Si on note $e_{ij} = e_i \wedge e_j$ , alors l'espace des m-vecteurs sur $\mathbf{R}^n$ , noté usuellement $\Lambda_m \mathbf{R}^n$ est un espace vectoriel dont les éléments sont de la forme:

$v = \sum_{i_1 < ... < i_m}{a_{i_1,...,i_m}e_{i_1,...,i_m}}$

Un multivecteur est dit décomposable s'il peut être écrit comme produit extérieur de vecteurs de $\mathbf{R}^n$ . Par exemple, c'est le cas dans $\Lambda_2 \mathbf{R}^4$ , $e_{12} + 2 e_{13} - e_{23} = ( e_1 + e_3) \wedge ( e_2 + 2 e_3)$ . Ce n'est pas le cas de $e 12 + e 34$ .

[modifier] Propriétés

Cet espace est muni d'une base canonique qui est $\{e_{i_1,...,i_m}\}$ , ce qui définit alors un produit scalaire sur cet espace. On peut également montrer que cet espace a une dimension égale à $C_n^m$ .

Si m = n, alors

$v_1 \wedge ... \wedge v_n = det[v_1,...,v_n]e_{1,...,n}$

[modifier] Interprétation

L'idée géométrique sous-jacente aux multivecteurs est de représenter un sous-espace vectoriel de dimension m P, dont $v = v_1 \wedge ... \wedge v_m$ en donnerait la base orientée.

Si l'on prend une autre base orientée de P, son produit extérieur $v'_1 \wedge ... \wedge v'_m$ est un multiple postif de v.