Moment (mathématiques)

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[modifier] Notion de moment

La notion de moment en mathématiques, notamment en calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction $f : I \to \R$ continue sur un intervalle $\ I$ (non réduit à un point) de $\R$ . Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de $\ f$ est défini (sous réserve d'existence) par :

$m_n(f)=\int_I x^n\,f(x)\,dx.$

Remarque : pour un entier naturel n donné, l'ensemble des fonctions continues sur $\ I$ dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel réel, et l'application $\ m_n : f \mapsto m_n(f)$ est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

[modifier] Problème des moments

On peut se demander si une fonction continue $\ f : I \to \R$ dont tous les moments existent est déterminée par la suite de ses moments. Cette question est appelée problème des moments.

En d'autres termes : soient deux fonctions continues $f, g : I \to \R$ dont chacune admet, pour tout entier naturel n, un moment d'ordre n. Si, pour tout $n \in \mathbb{N},\; m_n(f)= m_n(g)$ , peut-on affirmer que $\ f = g$ ?

D'après un théorème de Hausdorff, la réponse est affirmative lorsque $\ I$ est un segment $[a,\, b]$ (c'est-à-dire lorsqu'il est fermé et borné).

Démonstration de ce théorème :

La fonction $\ h = f - g$ est continue sur $\ I$ , et tous ses moments sont nuls, car pour tout $\ n$ , $\ m_n(h) = m_n(f) - m_n(g)$ .

On en déduit, par linéarité de l'intégrale, que $\int_a^b P(x)\,h(x)\,dx = 0$ quel que soit le polynôme réel $\ P$ ;

en effet, si $\ P = \sum_{k = 0}^p a_k\, X^k$ , alors $\int_a^b P(x)\,h(x)\,dx = \sum_{k = 0}^p a_k\, m_k(h) = 0$ .

Or, d'après un théorème de Weierstrass, pour toute fonction continue $[a,\, b] \to \R$ , il existe une suite de polynômes (réels) convergeant uniformément sur $[a,\, b]$ vers cette fonction. Il existe donc une suite $\ (P_n)$ de polynômes qui converge uniformément vers $\ h$ sur $[a,\, b]$ . Alors, la suite des produits $\ (P_n\, h)$ converge uniformément vers $\ h^2$ sur $\ [a,\, b]$ et il en résulte que $\int_a^b [h(x)]^2\,dx = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b P_n(x)\,h(x)\,dx = 0$ .

Comme $\ h$ est continue sur le segment $\ [a,\, b]$ , ceci prouve que $\ h = 0$ , c'est-à-dire $\ f = g$ .

Dans le cas général, la réponse est négative. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction $\ f :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R^+$ définie par $\ f(x) = \frac{1}{x\, \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\, (\ln x)^2}$ (densité de la loi log-normale), dont tous les moments existent.

On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel $\ n$ , $\int_0^{+\infty} x^n f(x) \sin(2 \pi \ln x)\, dx = 0$ .

Pour tout $\ \alpha \in \R$ , on définit $\ g_\alpha :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R$ par $\ g_\alpha(x) = f(x)\, [1 + \alpha \sin(2 \pi \ln x)]$ .

Alors : quels que soient $\ \alpha \in \R$ et $\ n \in \mathbb{N}$ , $\ m_n(g_\alpha) = m_n(f)$ , bien que $\ g_\alpha \neq f$ dès que $\ \alpha \neq 0$ .

Nota : pour tout $\ \alpha \in \R$ , $\int_0^{+\infty} g_\alpha(x)\, dx = 1$ car $\ m_0(g_\alpha) = m_0(f)$ . Or, si on prend $\ \alpha \in [-1,\, +1]$ , $\ g_\alpha$ est à valeurs positives : dans ce cas, $\ g_\alpha$ est une densité de probabilité portée par $\R^\star_+\,$ , distincte de $\ f$ si $\ \alpha \neq 0$ , dont tous les moments existent et sont les mêmes que ceux de $\ f$ . Ceci prouve que la loi log-normale n'est pas déterminée par ses moments.