Module quotient

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En mathématiques, un Module quotient est l'ensemble quotient d'un module donné par un de ses sous A-module.

[modifier] Définition

Soient M un module sur un anneau A et N un A-sous module de M.

On définit la relation d'équivalence R suivante : \forall (x,y)\in M^2, xRy \Leftrightarrow (x-y)\in N

Deux éléments de M sont ainsi en relation si leur différence appartient au sous module N, c’est-à-dire si x et y sont congrus modulo N.

L'ensemble quotient M / R, que l'on note alors M / N, muni des deux opérations suivantes induites par M

  • (x + N) + (y + N) = x + y + N
  • (x+N)\times (y+N) = (x\cdot y)+N

est un module sur A, nommé A-module quotient de M par N.

[modifier] Propriétés

  • C'est l'unique façon de munir le groupe abélien M / N d'une structure de A-module pour que la projection canonique \pi : M \rightarrow M/N soit un homomorphisme de A-module.
  • Pour tout morphisme de A-module f : M \rightarrow L tel que f(N) = {0L}, il existe un unique morphisme de A-module \tilde f:M/N \to L tel que \tilde f \circ \pi = f.

[modifier] Exemples

  • Si N = M, M / M est le module trivial {0}.
  • Si I est un idéal de A, alors IM = \{ \sum_{j \in J} a_j m_j où a_j \in I, m_j \in M et J une partie de \N } est un sous A-module de M et M / IM peut être muni d'une structure de module sur A / I.