Discuter:Modèle Black-Scholes

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Bonjour,

quelqu'un connait il une methode pour calculer la Var sur CPPI ?

Sommaire

1 Equation différentielle de Black-Scholes
2 re: EDP de Black-Scholes (Merton)
3 Phrase d'intro
4 Lemme d'Itô (informel)
5 Équation aux dérivées partielles de Black-Scholes
6 la formule est citee deux fois

[modifier] Equation différentielle de Black-Scholes

Il me paraît indispensable d'inclure l'équa diff de BS dans cet article ainsi que sa démonstration (avec au passage un rappel du lemme de Ito). Lehalle

tout à fait d'accord. Sur ce point il me semble que l'article anglais est plus complet. Par ailleurs, il me semble important de rappeler les conditions d'applications de ce modèle et les hypothèses qui sont faites. Une bonne âme pour corriger tout ça?

Pedro

[modifier] re: EDP de Black-Scholes (Merton)

Comme il faut quelqu'un, je vais le faire. On voit ça tout à l'heure.

[modifier] Phrase d'intro

la phrase d'intro : "Robert C. Merton a été le premier a publier un article développant l'aspect mathématique d'un modèle de pricing d'option en citant les travaux de Fischer Black et de Myron Scholes. Ceux-ci, publiés en 1973, se fondent sur les développements de théoriciens comme Louis Bachelier ou encore Paul Samuelson." est clairement mauvaise. On commence par indiquer que untel est le premier avant de découvrir qu'il s'est appuyé sur les travaux d'autres, et de même pour ces derniers !

[modifier] Lemme d'Itô (informel)

Soit $x$ une variable suivant un processus d'Itô, $dx = a\left(x,t\right)dt + b\left(x,t\right)dz$ et $G$ une fonction d' $x$ et $t$ . On fait un développement limité de $G$ en temps discret et on obtient :

$\delta G = \frac{\partial G}{\partial x} \delta x +\frac{\partial G}{\partial t} \delta t + \frac{1}{2}\frac{\partial ^2 G}{\partial x^2} \delta x^2 + \frac{1}{2}\frac{\partial ^2 G}{\partial t^2} \delta t^2 + \frac{\partial^2 G}{\partial x \partial t} \delta x \delta t + \ldots$

En temps discret, nous savons que $\delta z = \epsilon \sqrt{\delta t}$ On a donc : $\delta x = a\left(x,t\right)\delta t + b\left(x,t\right) \epsilon \sqrt{\delta t}$ On sait que la variance de $δ z = 1$ et que sa moyenne est nulle. On trouve donc :

$E\left[ \epsilon^2 \right] - E\left[ \epsilon \right] = Var\left[ \epsilon \right]$

$\Leftrightarrow E\left[ \epsilon^2 \right] - 0 = 1$

$\Leftrightarrow E\left[ \epsilon^2 \right] = 1$

$\Rightarrow \delta x = a\left(x,t\right)\delta t + b\left(x,t\right) \sqrt{\delta t}$

On remplace maintenant $δ x$ dans l'équation $\delta G = \ldots$ et on ne garde que les termes d'ordre 1, on négligera donc les termes d'ordre supérieur.

$\delta G = \frac{\partial G}{\partial x} \left( a\left(x,t\right)\delta t + b\left(x,t\right) \sqrt{\delta t} \right) +\frac{\partial G}{\partial t} \delta t + \frac{1}{2}\frac{\partial ^2 G}{\partial x^2} \left( a\left(x,t\right)\delta t + b\left(x,t\right) \sqrt{\delta t} \right)^2 + \frac{1}{2}\frac{\partial ^2 G}{\partial t^2} \delta t^2 + \frac{\partial^2 G}{\partial x \partial t} \left( a\left(x,t\right)\delta t + b\left(x,t\right) \sqrt{\delta t} \right) \delta t + \ldots$

On réarrange et on obtient :

$\Rightarrow \delta G = \left( \frac{\partial G}{\partial x} a\left(x, t \right) + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} b^2\left( x, t \right)\right) dt + \frac{\partial G}{\partial x} b^2\left( x, t \right) dz$

[modifier] Équation aux dérivées partielles de Black-Scholes

En temps discret, on a $δ S = μ S δ t + σ S δ z$ et soit $f$ dépndante de $S$ et de $t$ .

D'après le lemme d'Itô, on a :

$\delta f = \left( \frac{\partial f}{\partial S} \mu S + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 \right) \delta t + \frac{\partial f}{\partial S}\sigma S \delta z$

On part du principe que l'on a un portefeuille muni d'une action et de l'un de ses produits dérivés. On peut donc négliger le processus de Wiener.

On achète $\frac{\partial f}{\partial S}$ actions.

On a donc un portefeuille $\Pi = -f + \frac{\partial f}{\partial S} S$

$\Rightarrow \delta \Pi = -\delta f + \frac{\partial f}{\partial S} \delta S$

On substitue $δ f$ et $δ S$ dans l'équation précédente et on obtient :

$\delta \Pi = \left( -\frac{\partial f}{\partial t} - \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \sigma^2 S^2\right) \delta t$

Nous sommes dans le cas d'un placement sans risque avec une possibilité de vente à découvert. On en déduit :

$δΠ = r Πδ t$

On remplace $δΠ$ et $Π$ et en réorganisant, on arrive à l'équation désirée :

$\frac{\partial f}{\partial t} + r S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = r f$

[modifier] la formule est citee deux fois

Il ya clairement une redondance dans l'article.

L'idee de mettre la demonstration dans une sous partie qui se deroule est excellente ! Mais pour l'instant rien n'apparait.

je vois que dans la page publiée, à l'expression qui est donnée de d1, il est fait référence à un "u" qui n'est expliqué nulle part. QQ1 pour expliquer à quoi correspond ce u ? Merci d'avance !

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[modifier] re: EDP de Black-Scholes (Merton)

[modifier] Phrase d'intro

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[modifier] Équation aux dérivées partielles de Black-Scholes

[modifier] la formule est citee deux fois

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