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Un espace mesuré (E,T,µ) est dit complet si toute partie µ-négligable est élément de T. Nous rappelons ici que A µ-négligeable veut dire « A est contenu dans B où µ(B)=0 ».

On dit aussi qu'une mesure est complète si et seulement si tout sous-ensemble d'un ensemble mesurable de mesure nulle est mesurable et de mesure nulle.

[modifier] Théorème

Tout espace mesuré (E,T,µ) peut être complété.

[modifier] Preuve

On pose N(µ)={A µ-negligeable}. On vérifie facilement que N(µ) est un sigma-anneau. On considère la tribu T* engendrée par T et N(µ).

T* n'est que la classe des parties de E de la forme A=BU N où B est de T et N de 'N(µ)'. Sur T* on définit la fonction d'ensembles µ* telle que µ*(A)=µ(B). On montre que µ*(A) ne dépend pas du représentant choisi de A et que µ* est bien une mesure qui prolonge µ à T*. Nous venons de construire un autre espace mesuré (E,T*,µ*) qui est par définition complet.

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