Mathématiques des origami

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Les pliages d'Origamis peuvent poser de petits problèmes mathématiques pour le moins sympathiques.

[modifier] Formalisation des origami

Le formalisme auquel il est le plus souvent fait référence est celui de Huzita. Il contient 6 axiomes qui sont en fait les 6 pliages de base permettant de décomposer n'importe quel origami. En voici la liste:

  • Axiome 1. Un unique pli passe par deux point P et Q specifiés.
  • Axiome 2. Un unique pli amène un point P sur un point Q.
  • Axiome 3. Un unique pli superpose deux droites m et n.
  • Axiome 4. Un unique pli passe par un point P et est orthogonal à une droite m.
  • Axiome 5. Soient une droite m et deux points P et Q; un unique pli passe par Q et amène P sur m.
  • Axiome 6. Soient deux droites m et n et deux points P et Q; un unique pli amène P sur m et Q sur n.

[modifier] Feuilles A4 et origami

En notant a la hauteur et b la largeur d'un rectangle.

Soit B le point de report de la largeur sur une hauteur (O et A deux coins du rectangle tels que [O,A] contienne B, A est plus proche de B que O ne l'est). En notant B' le vis-à-vis de B (respectivement O' celui de O et A' celui de A).

diagramme de découpage fractal d'une feuille A4
diagramme de découpage fractal d'une feuille A4

(O,B,B',O') est un carré. On reporte B' en C sur [A,A'] (on note C' son vis-à-vis sur [B,B']) pour y former le carré (A',C,C',B').

Il reste le rectangle (C,A,B,C') ; quelles sont ses propriétés ?

Voici les longueurs de quelques segments de cette figure :

  • [O,A] est de longueur a,
  • [O,O'] et [O,B] de longueur b,
  • [A,B] = [A,O] − [B,O] est donc de longueur a − b,
  • [A',C] est aussi de longueur a − b,
  • et donc [A,C] = [A,A'] − [C,A'] est de longueur b − (a − b).

Notons r le rapport de la longueur de [A,B] par [A,C] : r:={b-(a-b) \over a-b}

Exprimons r en fonction du rapport de [O,A] sur [O,B] (que l'on note α) :

\alpha := {a\over b}

Alors :

(1)\;\; r={2-\alpha \over \alpha -1}

Par construction ([O,A] est sa longueur et [O,O'] sa largeur), α est plus grand que 1 ; l'équation (1) nous dit qu'il est plus petit que 2 (sinon il est impossible de réaliser cette figure ; C ne peut pas être tracé).

Pour information, on peut tracer les variations du comportement de r en fonction de α. Une valeur de r est particulièrement intéressante : r = α, cela signifie que les proportions du rectangle restant après avoir retiré les deux carrés successifs (d'abord (B,O,O',B') puis (B',C',C,A')), sont les mêmes que celles du rectangle original.

Dans ce cas, α vérifie l'équation :

\alpha = {2-\alpha \over \alpha -1}

Qui n'a qu'une solution unique : \alpha = \sqrt{2}.

Une série de boites réalisées à partir d'une seule feuille A4. A part la première, elles sont toutes en deux exemplaires
Une série de boites réalisées à partir d'une seule feuille A4. A part la première, elles sont toutes en deux exemplaires

Par coïncidence, il s'agit justement des proportions des feuilles An (par exemple A4, les feuilles rectangulaires standard) :

Format Largeur Hauteur
An 2 − 1 / 4 − n / 2 21 / 4 − n / 2

C'est ainsi que les feuilles An permettent de réaliser des origamis fractales, car dans le rectangle restant, aux mêmes proportions que le premier, il est encore possible de retirer deux carrés, puis de recommencer, théoriquement jusque l'infini.