Médiane (géométrie)

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Dans son sens le plus courant, une médiane désigne, dans un triangle, une droite joignant un des sommets du triangle au milieu du côté opposé.

Par extension, en géométrie plane, les médianes d'un quadrilatère sont les segments reliant les milieux de deux côtés opposés.

Enfin, en géométrie dans l'espace, les médianes d'un tétraèdre sont les droites passant par un sommet du tétraèdre et par le centre de gravité du côté opposé.

Sommaire

[modifier] Géométrie du triangle

Médianes et centre de gravité d'un triangle
Médianes et centre de gravité d'un triangle

Dans un triangle ABC, la médiane issue du sommet A est la droite (AI) où I désigne le milieu du segment [BC]. Le terme médiane désigne parfois le segment [AI] plutôt que la droite (AI).

Chaque médiane sépare le triangle ABC en deux triangles d'aires égales.


démonstration

Considérons les deux triangles ABI et ACI.

On appelle H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).

Comme I est le milieu du segment [BC], on a BI = CI.

L'aire du triangle ABI est égale à \frac{BI\times AH}{2}. L'aire du triangle ACI est égale à \frac{CI\times AH}{2}. Comme BI = CI, ces deux aires sont égales.

On démontre de la même manière que les médianes issues de B et de C vérifient cette propriété.

[modifier] Théorème de la médiane

Dans le triangle ABC, si I est le milieu de [BC] : alors \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AI}. Ce théorème est une conséquence immédiate de la définition de I comme isobarycentre de B et C (voir l'article barycentre).

Le « deuxième théorème de la médiane » affirme que AB^2 + AC^2 = {1 \over 2} BC^2 + 2AI^2. Il fut énoncé par Apollonius de Perga.et par Thalés.

[modifier] Centre de gravité

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre de gravité du triangle. Il est situé aux \frac 2 3 de chaque médiane à partir du sommet correspondant. Le centre de gravité G vérifie la relation vectorielle : \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} \,


démonstration
  • Par définition, le milieu M d'un segment [XY] est le point de ce segment à égale distance de ses extrémités. Il vérifie donc la relation vectorielle :
\overrightarrow{MX} + \overrightarrow{MY} = \vec{0} \,

(ce qui signifie que M est aussi l'isobarycentre des extrémités du segment [XY]).

  • Appelons I, J et K les milieux respectifs des trois côtés [BC], [AC] et [AB]. D'après ce qui précède :
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0} \ , \ \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JC} = \vec{0} \ et \ \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} = \vec{0} \,
  • Soit T le point intersection des deux médianes (AI) et (BJ). Nous déduisons de la ligne ci-dessus :
\overrightarrow{TB} + \overrightarrow{TC} = 2 . \overrightarrow{TI} \ , \ \overrightarrow{TA} + \overrightarrow{TC} = 2 . \overrightarrow{TJ} \ et \ \overrightarrow{TA} + \overrightarrow{TB} = 2 . \overrightarrow{TK} \,
  • Considérons à présent l'isobarycentre G des 3 points A, B et C. Par définition, il vérifie la relation vectorielle :
\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} \,

Nous en déduisons :

3 . \overrightarrow{GT} + \overrightarrow{TA} + \overrightarrow{TB} + \overrightarrow{TC} = \vec{0} \,

puis, en utilisant les égalités précédentes concernant T :

3 . \overrightarrow{TG} = \overrightarrow{TA} + 2 . \overrightarrow{TI} \ , \ 3 . \overrightarrow{TG} = \overrightarrow{TB} + 2 . \overrightarrow{TJ} \ et \ 3 . \overrightarrow{TG} = \overrightarrow{TC} + 2 . \overrightarrow{TK} \,

Comme T appartient à (AI), T, A et I sont alignés ; donc d'après la première égalité de la ligne précédente, G est aligné avec eux ; en d'autres termes, G appartient à (AI). On montre de la même manière que G appartient à (BJ). Autrement dit, G appartient à l'intersection de (AI) et de (BJ), qui se réduit à T. Bref, G et T sont confondus, et nous pouvons écrire, d'après la troisième égalité de la ligne précédente :

\overrightarrow{GC} + 2 . \overrightarrow{GK} = \vec{0} \,

G, C et K sont donc alignés, ou, en d'autres termes, G appartient à (CK), la troisième médiane. Les trois médianes sont donc concourantes, CQFD.

[modifier] Médiane dans des triangles particuliers

Médiane dans un triangle rectangle
Médiane dans un triangle rectangle

Dans un triangle isocèle, la médiane relative à la base du triangle est un axe de symétrie du triangle. Considérées comme des segments, les deux autres médianes sont de longueur égale. Réciproquement si dans un triangle deux médianes sont de même longueur, le triangle est isocèle.

Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse. Réciproquement si dans un triangle la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, le triangle est rectangle.

[modifier] Médianes dans un quadrilatère

Médianes d'un quadrilatère
Médianes d'un quadrilatère

Les médianes du quadrilatère sont les segments reliant les milieux des côtés opposés.

  • L'associativité des barycentres permet aussi de justifier que le milieu des médianes est le centre de gravité du quadrilatère.

[modifier] Géométrie, dans l'espace

En géométrie dans l'espace, on appelle médianes d'un tétraèdre les droites joignant un des sommets du tétraèdre et le centre de gravité de la face opposée à ce sommet. Il y a donc 4 médianes dans un tétraèdre. Elles se coupent en un point qui est l'isobarycentre du tétraèdre. Toute ces propriétés sont des conséquence de l'associativité du barycentre.

Dans un tétraèdre régulier (dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux), les médianes sont aussi les hauteurs. On dira que ce tétraèdre est orthocentrique car ses hauteurs sont concourantes (ce n'est pas le cas, en général, dans un tétraèdre, contrairement à un triangle).

La molécule de méthane CH4 illustre ce cas : les sommets sont occupés par des atomes d'hydrogène ; l'atome de carbone se situe au point de rencontre des médianes !