Utilisateur:Lyhana8/algebre

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[modifier] logique

propostion : p ⇒ q (⇔ ¬p ∨ q)
contaposée : ¬p ⇒ ¬q
negation : p ∧ ¬q
réciproque : q ⇒ p

[modifier] Espace vectoriel

[modifier] Définition

Un espace vectoriel E sur un corps (commutatif) \mathbb{K} ou, plus précisément, ( \mathbb{K} , + , • ) , est un ensemble muni de deux lois, l'une interne notée « + » (attention à ne pas la confondre avec la première loi du corps \mathbb{K}) , et l'autre externe notée « • », qui vérifient les propriétés suivantes, appelées aussi axiomes :

  • ( E , + ) est un groupe commutatif, c'est-à-dire :
  • la loi « + » est associative :
\forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \forall\, \vec w \in E , \ ( \vec u + \vec v ) + \vec w = \vec u + ( \vec v + \vec w ) \,
  • la loi « + » est unifère, elle a un élément neutre :
\exists\, \vec e \in E , \ \forall\, \vec u \in E , \ \vec e + \vec u = \vec u + \vec e = \vec u \,. Cet élément \vec e est unique, on le note \vec 0.
  • la loi « + » est symétrisable, tout élément de E a un opposé :
\forall\, \vec u \in E , \ \exists\, \vec v \in E\, /\, \ \vec u + \vec v = \vec v + \vec u = \vec 0 \,. Ce vecteur \vec v est unique pour un \vec u spécifié. On le note (-\vec u).
  • la loi « + » est commutative :
\forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \vec u + \vec v = \vec v + \vec u \,


  • la loi externe « • » est une application \mathbb{K} \times E \to E,\, (\lambda,\, \vec u) \mapsto \lambda \cdot \vec u (on note aussi \lambda\, \vec u).
Elle permet à \mathbb{K} d'opérer sur E, selon les quatre axiomes suivants :
  • l'élément unité « 1 » du corps \mathbb{K} est neutre à gauche pour la loi « • » :
\forall\, \vec u \in E , \ 1 \cdot \vec u = \vec u \,
  • la loi « • » est distributive à gauche par rapport à l'addition de E :
\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \lambda \cdot ( \vec u + \vec v ) = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \lambda \cdot \vec v ) \,
  • la loi « • » est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps \mathbb{K} :
\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \mu \in \mathbb{K} , \ \forall\, \vec u \in E , \ ( \lambda + \mu ) \cdot \vec u = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \mu \cdot \vec u ) \,
  • la loi « • » est exoassociative par rapport à la multiplication du corps \mathbb{K} ( elle l'« importe » dans l'espace vectoriel) :
\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \mu \in \mathbb{K} , \ \forall\, \vec u \in E , \ ( \lambda \times \mu ) \cdot \vec u = \lambda \cdot ( \mu \cdot \vec u ) \,