Loi multinomiale

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La loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. La loi multinomiale est une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à n jets d'un dé à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

[modifier] Autre présentation de la loi binomiale

La fonction de probabilité de la variable aléatoire binomiale $X\,$ qui s'écrit

$\mathcal{P}(X=x) = \frac{n!} {x! (n-x)!} p^x (1-p)^{n-x}$

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :

$N_1 = X \quad N_2 = n-X \quad p_1 = p \quad p_2 = 1-p$ $\mathcal{P}(N_1 = n_1,N_2 = n_2) = \frac{n!} {n_1! n_2!} p_1^{n_1} p_2^{n_2}$

[modifier] Généralisation

Dans le cas multinomial à $m\,$ résultats possibles au lieu de 2, les variables deviennent $N_i\,$ , $i=\{1,\ldots,m\}\,$ et correspondent aux probabilités $p_i\,$ , $i=\{1,\ldots,m\}\,$ avec les contraintes

$\sum_{i=1}^m N_i = n \quad \sum_{i=1}^m p_i = 1$

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

$\mathcal{P}(N_1 = n_1,\ldots N_m = n_m) = \frac{n!} {n_1! \ldots n_m!} p_1^{n_1}\ldots p_m^{n_m}$

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

$E[N_i] = n p_i \quad var[N_i] = n p_i (1-p_i)$

tandis que les covariances s'écrivent

$cov[N_i,N_j] = -n p_i p_j\,$

[modifier] Approximation

Lorsque la variable aléatoire $N_i\,$ devient assez grande, le théorème de la limite centrale montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite $\frac {N_i - n p_i} {\sqrt{np_i(1-p_i)}}$ .

Si ces variables étaient indépendantes, $\sum_{i=1}^m \frac {(N_i - n p_i)^2} {np_i(1-p_i)}$ suivrait une loi du $\chi^2\,$ à $m\,$ degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable $\sum_{i=1}^m \frac {(N_i - n p_i)^2} {n p_i}$ suit une loi du $\chi^2\,$ à $(m-1)\,$ degrés de liberté.