Loi géométrique

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La loi géométrique est un résultat utilisé en probabilité.

La loi géométrique de paramètre p (0 < p < 1) correspond au modèle suivant :

On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p et celle d'échec q = 1 - p.

On renouvelle cette épreuve de manière indépendante jusqu'au premier succès. On appelle X la variable aléatoire donnant le rang du premier succès. Les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2,...

La probabilité que X = k est alors

p(k) = qk − 1p

On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.

Sommaire

[modifier] Calcul de p(k)

La probabilité p(k) correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k - 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de qk - 1p

[modifier] Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p est \frac{1}{p}

La variance est \frac{q}{p^2},

L'écart type est donc \frac{\sqrt{q}}{p}


Démonstrations

Calculs préliminaires, pour tout x de [0 ; 1[,

f(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} x^{k-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} x^{k} = \frac{1}{1-x}
f'(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} kx^{k-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)x^{k} = \frac{1}{(1-x)^2}
f''(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} k(k+1)x^{k-1}= \sum_{k=1}^{+\infty}k^2x^{k-1} + \sum_{k=1}^{+\infty} kx^{k-1}= \frac{2}{(1-x)^3}

En particulier

\sum_{k=1}^{+\infty}k^2x^{k-1} = \frac{2}{(1-x)^3} - \frac{1}{(1-x)^2}

On peut alors utiliser ces identités pour le calcul de l'espérance :

\overline X = \sum_{k=1}^{+\infty} kq^{k-1} p = \frac{p}{(1-q)^2}= \frac 1p car 1 - q = p

et pour celui de la variance :

V(X) = \left(\sum_{k=1}^{+\infty} k^2q^{k-1} p\right) - \overline X^2 = \frac{2p}{(1-q)^3}- \frac{p}{(1-q)^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p^2} - \frac 1p = \frac{q}{p^2}

[modifier] Date de mort, durée de vie

Diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10.
Diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10.

Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :

P(V = k) = qkp pour k = 0, 1, ....
P(V \geq k) =q^k = \mathrm{e}^{k\ln(q)}

Pour p petit, ln(1 - p) est voisin de -p donc

P(V \geq k) \approx \mathrm{e}^{-pk}

où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle.

[modifier] Voir aussi

modifier Articles de mathématiques en rapport avec les probabilités ou les statistiques
Statistiques descriptives • Analyse des données • Visualisation des données • Estimateurs • Tests statistiques • Séries temporelles et économétrie • Statistique Mathématique • Théorie des probabilités • Variables aléatoires • Inégalités • Théorèmes limites • Processus stochastiques • La mécanique statistique • Les statistiques et l'économie • Les statistiques et la sociologie • Les statistiques et les sciences • Les probabilités et les jeux • Les équations aux dérivées partielles et les probabilités