Loi de Curie

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Magnétisation d'un matériau paramagnétique en fonction de la température

Pour un matériau paramagnétique, la loi de Curie décrit la magnétisation du matériau comme une fonction du champ magnétique appliqué et de la température.

$\mathbf{M} = C \cdot \frac{\mathbf{B}}{T}$

$\mathbf{M}$ est la magnétisation

$\mathbf{B}$ est le flux du champ magnétique appliqué, en teslas

T

est la température absolue, en kelvins

C

est la constante de Curie du matériau. Elle est définie comme :

$C = \frac{N \mu^2}{k_B}$

où

N

est le nombre de moments magnétiques à considérer,

μ

est un moment magnétique individuel et

k B

est la constante de Boltzmann.

Cette relation a été découverte de manière expérimentale par Pierre Curie.

[modifier] Démonstration (physique statistique)

Magnétisation d'un matériau paramagnétique en fonction de la température inverse

Un modèle simple de matériau paramagnétique définit les particules qui le composent, appelés paramagnetons. Chaque paramagneton possède un moment magnétique $\vec{\mu}$ . L'énergie associée à ce moment magnétique dans un champ magnétique est donnée par :

$E=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}$

Pour simplifier les calculs, on considère le matériau paramagnétique a 2 états, c’est-à-dire que chaque paramagneton va aligner son moment magnétique avec le champ magnétique, dans le même sens ou en s'y opposant. Les autres orientations ne sont pas prises en compte. La particule a donc 2 énergies possibles

E 0 = μ B

E 1 = - μ B

Avec cette information nous pouvons déterminer la fonction de partition d'un paramagneton

$Z = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-E_n\beta} = e^{-\mu B\beta} + e^{\mu B\beta} = 2 \cosh\left(\mu B\beta\right)$

La fonction présente les deux effets, un s'intéresse à la magnétisation du matériau, l'autre à la probabilité du paramagneton de s'aligner avec le champ magnétique. En d'autres mots, on détermine la valeur attendue de l'orientation magnétique du matériau.

$\left\langle\mu\right\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} \mu_n P\left(\mu_n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \mu_n {e^{-\mu_n B\beta}\over Z} = {1\over Z}\sum_{n=0}^{\infty}{\partial_{\beta}e^{-\mu_n B\beta}\over B} = {1\over B}{1\over Z} \partial_{\beta} Z$

$\left\langle\mu\right\rangle = {1\over 2 B \cosh\left(\mu B\beta\right)} 2 \mu B \sinh\left(\mu B\beta\right) = \mu \tanh\left(\mu B\beta\right)$

On a ainsi la magnétisation d'un paramagneton, qu'on peut extrapoler au matériau

$M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \tanh\left({\mu B\over k T}\right)$

La formule ci-dessus est connue sous le nom de l'équation paramagnétique de Langevin. Pierre Curie trouva une approximation de cette loi qui pouvait s'appliquer à ses expérimentations à hautes températures et faible champ magnétique. Lorsque la température augmente ( $T$ grand), et le champ magnétique reste faible ( $B$ petit), l'argument de la tangente hyperbolique diminue :

$\left({\mu B\over k T}\right) << 1$