Lemme de Grönwall

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

En mathématiques, le lemme de Grönwall, nommé d'après Thomas Hakon Grönwall (1877-1932) qui l'établit en 1919, permet l'estimation d'une fonction qui vérifie une certaine inégalité différentielle. Le lemme existe sous deux formes, intégrale et différentielle.

Le lemme de Grönwall constitue la justification et l'outil d'obtention de nombreuses approximations des solutions d'équations différentielles ordinaires. En particulier, il est utilisé pour démontrer l'unicité d'une solution au problème de Cauchy, au travers du théorème de Cauchy-Lipschitz.

[modifier] Forme intégrale

Si, pour $t_0\leq t\leq t_1$ , $\phi(t)\geq 0$ et $\psi(t)\geq 0$ sont des fonctions continues qui vérifient :

$\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s$

pour $t_0\leq t\leq t_1$ , où $K$ et $L$ sont des constantes positives, alors :

$\phi(t)\leq K\exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)$

pour $t_0\leq t\leq t_1.$

Le principe de démonstration est le suivant: il s'agit de voir qu'en $t 0$ , on a égalité entre les deux majorants, puis, en dérivant le rapport $\frac{K+L\int_{t_0}^t\psi(s)\phi(s)\mathrm{d}s}{K\mathrm{exp}\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\mathrm{d}s\right)}$ , voir que ce rapport est décroissant, ce qui prouve le résultat.