Lemme de Césaro

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Le lemme de Césaro relie la limite d'une suite avec celle de sa valeur moyenne.

Enoncé :

Soit u une suite complexe. Si \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=l \in \overline{\mathbb{R}} alors \lim_{n\rightarrow+\infty}{\sum_{k=1}^n u_k \over n}=l

Démonstration:

  Premier cas: l ∈ R

Soit a>0 : il existe un entier naturel n0 non-nul tel que pour tout entier n>n0 on ait |un - L| < a/2.

Soit n > n0

alors, |{\sum_{k=1}^n u_k \over n}-l|\le{\sum_{k=1}^n |u_k-l| \over n} = {\sum_{k=1}^{n_0} |u_k-l| \over n} + {\sum_{k=n_0+1}^n |u_k-l| \over n}

Or, {\sum_{k=1}^{n_0} |u_k-l| \over n} \longrightarrow 0 donc il existe un entier naturel n1 non-nul tel que pour tout entier n>n1 on ait,{\sum_{k=1}^{n_0} |u_k-l| \over n} < {a \over 2}

donc pour n > max(n1,n0)

on a, |{\sum_{k=1}^n u_k \over n}-l|< {a\over 2} + {(n-n_0)a \over 2n} < a

d'où \lim_{n\rightarrow+\infty}{\sum_{k=1}^n u_k \over n}=l