Invariant
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
 |
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
|
En mathématiques, le mot invariant possède suivant le contexte différentes significations (non équivalentes). Il est utilisé aussi bien en géométrie et en topologie qu'en analyse et en algèbre.
Sommaire |
[modifier] Invariant d'une transformation
Si f:E
E est une application ensembliste, un invariant de f est un élément x de E qui est sa propre image sous f, id est :
- f(x) = x
Dans certains cas, les invariants d'une application apportent des informations à son sujet.
- En géométrie euclidienne, l'unique invariant d'une similitude directe (qui n'est pas une translation) du plan euclidien sera son centre.
- En réduction des opérateurs, un sous-espace vectoriel F de E est dit invariant par une application linéaire A lorsque l'image de F sous A est F. F peut être réalisé comme un point fixe de l'application induite par A sur l'ensemble des sous-espaces vectoriels de E.
- Pour une action (à gauche) d'un groupe G sur un ensemble X, un point x est dit invariant lorsque pour tout élément g de G on a : g.x=x. Le singleton x est un invariant de la transformation Y
induite par l'action de G.
Sous cette signification, le terme point fixe est plus couramment utilisé en systèmes dynamiques, pour les transformations géométriques et pour les actions de groupe.
[modifier] Propriété invariante
Une propriété est dite invariante lorsqu'un procédé ne la modifie pas. Une propriété concerne un objet ou un ensemble d'objets donné. Différentes constructions peuvent être menées pour construire des objets de nature similaire : partie, complémentaire, somme, produits, quotient, recollement, extension, ...
L'invariance d'une propriété caractérise sa stabilité sous ces constructions.
[modifier] Au sens de la théorie des catégories
Pour une catégorie donnée, un invariant est une quantité ou un objet associé(e) à chaque objet de la catégorie, et qui ne dépend que de la classe d'isomorphismes de l'objet, éventuellement à isomorphisme près.
Le langage des invariants est particulièrement adapté à la topologie algébrique.
