Intégrale d'Itô

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L'intégrale d'Itō, appelée ainsi en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itō est un des outils fondamentaux du calcul stochastique.

Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'intégrale de Riemann comme limite d'une somme de Riemann. Si on se donne un processus de Wiener (ou mouvement brownien) $B : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}\,$ ainsi que $X : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}$ un processus stochastique adapté à la filtration naturelle associée à $B t$ , alors l'intégrale d'Itô

$\int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} B_{t} : \Omega \to \mathbb{R}$

est définie par la limite en moyenne quadratique de

$\sum_{i = 0}^{k - 1} X_{t_{i}} \left( B_{t_{i+1}} - B_{t_{i}} \right)$

lorsque le pas de la partition $0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = T$ de $[0, T]$ tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de Riemann-Stieltjes pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à variations bornées. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

[modifier] Propriétés

Avec les notations précédentes, le processus stochastique Y défini, pour t réel positif, par $Y_{t}=\int_{0}^{t}{X_{s} \mathrm{d}B_{s}}$ , est une martingale. En particulier, son espérance est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'isométrie: $E(Y_{t}^{2})=\int_{0}^{t}{E(X_{s}^{2}) \mathrm{d}s}$ . Noter que cette dernière intégrale est "classique", i.e. est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable s.