Discuter:Histoire de la logique

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Sommaire

[modifier] Phrase cryptique

Que veut dire la phrase «On n'aurait pas encore falsifié de théorème majeur avec ces méthodes» à propos des logiques non-standards? Pierre de Lyon 27 mars 2006 à 09:44 (CEST)

Rien, c'est une faute de frappe, «On n'aurait pas encore démontré de théorème majeur avec ces méthodes» est la phrase voulue. Merci de la remarque.Jean-Luc W 27 mars 2006 à 11:56 (CEST)

Je suis désolé, mais je ne comprends pas plus. Je vois pas ce que vient faire ce conditionnel. Est-ce que cela se veut être une affirmation du genre «A ce jour, aucun théorème majeur n'a été démontré en utilisant seulement les techniques de démonstration de l'analyse non-standard»? NB: j'ai réécrit les phrases qui précédaient. Pierre de Lyon 27 mars 2006 à 19:26 (CEST)

C'est clairement mieux, mais je ne me sentais pas d'être aussi affimatif vu que je n'ai pas regardé ce genre de chose depuis dix ans. Si ta formulation est justifiée par de bonnes sources, elle est clairement meilleure. Jean-Luc W 28 mars 2006 à 11:40 (CEST)

Hélas, je suis incompétent sur le sujet de l'analyse non standard. Pierre de Lyon 29 mars 2006 à 13:20 (CEST)

Je vais faire un peu de recherche, ce conditionnel est bien génant, et personne n'y comprendra rien en l'état. Jean-Luc W 29 mars 2006 à 13:33 (CEST)

[modifier] Période classique

Ce n'est qu'un premier jet. Il est quasi caricatural, il n'explique pas la philosophie de Newton et la logique chez les intuitionnistes. Il omet Pascal et Descartes, il n'explique mal le rôle de la logique chez d'Alembert ou Voltaire. Et oublier Spinoza est impardonable. En bref il reste à faire encore beaucoup de travail et si un philosophe peut nous aider, il y aura moins de bétises d'écrites. Une analyse de la logique en philosophie essentiellement fondée sur Vinci Galilée Newton sur la période classique, c'est indigent. Jean-Luc W 29 mars 2006 à 00:13 (CEST)

[modifier] Logique contemporaine

Je ne suis pas convaincu par cette section, qui me paraît un peut anecdotique et pas assez synthétique.Pierre de Lyon 1 août 2006 à 18:14 (CEST)

Je trouve en particulier que la phrase sur l'analyse non standard n'a pas sa place dans cette section. Pierre de Lyon 18 mars 2007 à 19:32 (CET)

[modifier] Logique moderne

Cette section, comme d'ailleurs tout l'article, ne cite pas ses sources et est truffée de commentaires non encyclopédiques. Je cite 2 cas ci-dessous. - Michel421 3 novembre 2007 à 18:43 (CET)

[modifier] Maladie infectieuse

On ne nous dit pas quelle est la maladie infectieuse à laquelle Hilbert aurait mis fin. J'ai plutôt l'impression qu'on a confondu Hilbert et Poincaré - Poincaré avait qualifié la théorie des ensembles de "maladie" (le pauvre, s'il revenait....) Mais je laisse, au cas où on voudrait bien mettre une source. - Michel421 3 novembre 2007 à 18:43 (CET)

Je ne tiens pas du tout (cf. ci-dessous) à défendre l'article, mais je serais curieux de savoir si l'on peut donner une référence de ce propos de Poincaré. Je l'ai déjà vu cité, mais jamais référencé. Les écrits de Poincaré que j'ai lu sur le sujet sont nettement plus mesurés. Bref ça m'intéresserait de savoir d'où ça vient (même si c'est indirect). Par ailleurs Hilbert a pu dire quelque chose de ce genre (j'essayerai de vérifier), mais dans les années 1920, dans un article où il présente son programme. Proz 10 novembre 2007 à 00:22 (CET)
Ca viendrait du mathématicien anglais Ian Stewart "Poincaré disait que les générations futures considéreront ces théories comme une maladie" ; je viens de voir ça cité par un blog mais j'avais lu auparavant une phrase similaire. J'essayerai de retrouver où. - Michel421 11 novembre 2007 à 00:44 (CET)
Je tombe là-dessus en cherchant tout autre chose dans l'encyclopédie anglaise :http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Axiomatic_set_theory#why_i_deleted_.22set_theory_is_a_disease_from_which_mathematics_will_one_day_recover.22 Ca semble possible (Dans ses écrits Poincaré est assez critique sur ce qu'il appelle le "Cantorisme", mais s'est intéressé de près aux travaux de Cantor et ne dit pas qu'il faut tout jeter). Proz 12 novembre 2007 à 01:08 (CET)

[modifier] Gödel et Bourbaki

Bourbaki ignore Gödel ? Là je sais que c'est faux, j'enlève ce passage. - Michel421 3 novembre 2007 à 18:43 (CET)

Dans un cas comme dans l'autre il doit bien exister une référence ou une citation. En particulier, si Bourbaki connaissait Gödel, on doit bien trouver une référence. Pierre de Lyon 3 novembre 2007 à 19:40 (CET)
Bourbaki Eléments de mathématiques Diffusion CCLS 1977 pp. EIV73 à EIV 76. Il y a notamment un résumé de la démarche suivie par Gödel, un rapprochement avec le théorème du modèle dénombrable de Löwenheim-Skolem et des considérations sur l'Entscheidungsproblem. A noter que Gentzen a réussi à prouver la consistance de l'arithmétique formalisée en utilisant "intuitivement" l'induction transfinie jusqu'à l'ordinal εo. Bien entendu, cette démarche ne relève pas des "procédés finis" de Hilbert - cadre dans lequel le théorème d'incomplétude s'applique. - Michel421 3 novembre 2007 à 22:24 (CET)
Je parais un peu pointilleux, mais ne parlons-nous pas de logique? La « démarche » de Gödel n'est pas le « résultat ». Merci pour l'information vérifiable. Pierre de Lyon 4 novembre 2007 à 14:08 (CET)
Le résultat y est, bien entendu. Dans la page EIV73, Bourbaki dit, à propos des théorèmes de non-catégoricité : "Le premier en date est dû à K. Gödel (XLIV a) qui a montré que, si T est non-contradictoire et si les axiomes de l'arithmétique formalisée sont des théorèmes de T, alors T n'est pas catégorique. L'idée fondamentale de son ingénieuse méthode consiste à établir une correspondance biunivoque - bien entendu, au moyen de procédés finis - entre les énoncés métamathématiques et certaines propositions de l'arithmétique formalisée ; nous nous bornerons à en esquisser les grandes lignes (....)"
XLIV a, c'est évidemment Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, Monatsch für Math u. Phys., t. XXXVIII, Kurt Gödel 1931. Le point culminant se trouve dans les pages 173 à 198. - Michel421 4 novembre 2007 à 14:55 (CET)
Je pense qu'il s'agit de la complétude. Pourquoi Bourbaki emploie-t-il le mot catégoricité? Pierre de Lyon 5 novembre 2007 à 16:29 (CET)
Bourbaki appelle catégorique toute théorie T pour laquelle, si A est une proposition de T ne contenant aucune lettre autre que les constantes de T, soit A soit ¬A est un théorème de T. - Michel421 5 novembre 2007 à 19:55 (CET)
L'article anglais catégoricité dit ceci :
"Oswald Veblen in 1904 defined a theory to be categorical if all of its models are isomorphic. It follows from the definition above and the Löwenheim-Skolem theorem that any first-order theory with a model of infinite cardinality cannot be categorical. One is then immediately led to the more subtle notion of κ-categoricity, which asks: for which cardinals κ is there exactly one model of cardinality κ of the given theory T up to isomorphism?"
Visiblement la notion de catégoricité utilisée par Bourbaki est celle d'Oswald Veblen, car si une théorie n'admet qu'un seul modèle à un isomorphisme près, cela équivaut à dire qu'elle est complète. - Michel421 5 novembre 2007 à 23:51 (CET)
ça n'équivaut pas : il existe des théories complètes ayant des modèles infinis, et qui ont donc des modèles de cardinalités distinctes. Il y a eu historiquement un certain flottement sur la notion de catégoricité (y compris chez Gödel), le théorème de Löwenheim-Skolem de l'article anglais est le théorème ascendant qui n'est pas de Löwenheim ni Skolem me semble-t-il, je ne sais plus de quand il date. Qu'entendaient-ils par catégoriques à l'époque ? (aleph0-catégoriques ? Etait-ce bien clair pour eux ?). En tout cas aujourd'hui il est clair que la notion de catégoricité au sens strict n'a pas d'intérêt. A mon avis le contributeur qui écrivait que Bourbaki ignorait Gödel devait vouloir dire que Bourbaki a fait comme si le programme de Hilbert n'avait pas été remis en cause par Gödel, ça ne peut pas être au sens strict (les théorèmes de Gödel ont quand même finis par être assez connus). Ceci dit je ne défends pas le texte, de toute façon ce genre de chose demande une référence, et puis je ne crois pas que cet article soit amendable. Proz 9 novembre 2007 à 23:55 (CET)
OK je n'ai pas beaucoup réfléchi quand j'ai parlé de la catégoricité. Mais Bourbaki prend bien en compte l'échec du programme de Hilbert, en page EIV75 :"C'est en effet dans la question de la non-contradiction des théories mathématiques (....) que les résultats se sont révélés les plus décevants.(....) ils [l'école de Hilbert] croyaient toucher au but et démontrer, non seulement la non-contradiction de formalismes partiels, couvrant une partie de l'arithmétique, mais aussi celle de la théorie des ensembles, lorsque Gödel, s'appuyant sur la non-catégoricité de l'arithmétique, en déduisit l'impossibilité de démontrer par les "procédés finis" de Hilbert, la non-contradiction de toute théorie T contenant cette dernière." - Michel421 10 novembre 2007 à 11:32 (CET)

J'ai relu les deux pages où Bourbaki parle du théorème de Gödel, je les ai scannées et je peux vous les envoyer si vous le désirez. Bien sûr, il était faux de dire que « Bourbaki ignorait le théorème de Gödel », en revanche il est très clair que Bourbaki n'a pas compris la portée de ce théorème ; tout d'abord, il en donne une conséquence très affaiblie, la catégoricité et il se réfère aux « axiomes de l'arithmétique formalisée » sans voir que cela touche toute axiomatisation des entiers, mais surtout il persiste à penser qu'une formalisation des mathématiques (de la théorie des ensembles comme il l'écrit) est possible. En conséquence, je pense qu'une histoire de la logique doit évoquer le fait qu'un groupe de mathématiciens attaché au formalisme aient pu ne pas saisir jusqu'en 1970 (mon édition est de 1970) la portée du théorème de Gödel. Pierre de Lyon 14 novembre 2007 à 16:38 (CET) P.S. Sur la page 75, la façon dont il parle de la décision ou l'esquive est aussi assez « étonnante » vue d'aujourd'hui.

On peut critiquer la terminologie. La définition de la catégoricité par Bourbaki équivaut à celle de la complétude par Tarski : si P est une proposition exprimable dans la théorie, soit P soit ¬P y est démontrable.... Donc une théorie non-catégorique au sens de Bourbaki est une théorie incomplète au sens de Tarski : ni P ni sa négation ne sont prouvables à l'intérieur de la théorie.... - Michel421 18 novembre 2007 à 01:05 (CET)
Le théorème de Gödel dit plus que le fait que la théorie des entiers naturels est non catégorique (ou incomplète au sens de Tarski), il dit qu'il existe une proposition P vraie non démontrable. Clairement ¬P ne sera pas démontrable puisqu'elle est fausse et donc on a évidemment la non catégoricité comme cas particulier facile (je dirais même un peu dégénéré); mais c'est bien le fait que P ne soit pas démontrable qui est troublant. De plus, si on étend la théorie, il restera toujours une proposition vraie non démontrable. Bourbaki n'a visiblement pas compris ces faits (sens fort de la complétude, nature intrinsèque du résultat), puisqu'il espère une théorie des ensembles complète. Cette foi est répétée à propose du théorème de complétude de Gentzen, page suivante.
Bourbaki a bien vu qu'il y a une proposition vraie non démontrable, comme il le note incidemment, mais il n'a pas vu que c'est ça le résultat fort de Gödel.
Il n'est pas le seul dans l'erreur. Je suis en train de lire l'autobiographie (écrite en 1953) de Norbert Wiener, ancien élève de Russell, qui lui aussi assimile le théorème de Gödel à la non-catégorité. C'est d'ailleurs ce qui m'a mis la puce à l'oreille et envie d'aller voir le texte de Bourbaki. Pierre de Lyon 18 novembre 2007 à 10:25 (CET)
Bourbaki l'a vu mais ne l'a pas cru, à cause de Gentzen dont la démonstration n'était pas digne de foi, c'est ça? Sourire - Michel421 18 novembre 2007 à 12:56 (CET)
Si je récapitule, Bourbaki dit bien que dans un système duquel on peut déduire l'arithmétique il y a une proposition non démontrable, et sa négation est non-démontrable ; or pour Bourbaki l'une des deux doit être vraie - son système de calcul des propositions est celui de Hilbert-Ackermann duquel on déduit le tiers exclu. Donc Bourbaki croit bien qu'il y a une proposition vraie non démontrable. En quoi n'a t-il pas compris que c'était le résultat fort de Gödel? Là je ne comprends pas trop - Michel421 18 novembre 2007 à 16:56 (CET)
Ce qu'écrit Pierre sur Wiener et Bourbaki est très intéressant. L'asymétrie dans le résultat du th. de Gödel est effectivement essentielle, et la formulation (formule vraie non démontrable) est très souvent la formulation moderne. Si on ne veut pas parler de "vrai", on peut dire aussi, en plus lourdingue, que P est une formule universelle non démonrable dont chaque instance (une pour chaque entier naturel "standard") est démontrable dans la théorie de départ T. Cet aspect échappe effectivement a beaucoup de gens qui n'y voient qu'un résultat d'incomplétude (une formule indécidable) et s'empressent de comparer celui-ci à l'indécidabilité de l'axiome du choix ou de l'hypothèse du continu. Je suis quand même étonné que Bourbaki ait pu ignorer (au sens fort, ne pas s'être rendu compte que) que le th. de Gödel ne s'applique pas à la théorie des ensembles. L'arithmétique formalisée signifie-t-elle pour eux 1er ordre nécessairement ? Le titre de l'article de Gödel parle des principia mathematica (la théorie des types, plus forte que l'arithmétique). Je crois aussi que la date à prendre en référence est celle de première publication. Je lirais volontiers le texte de Bourbaki (mais je peux aussi facilement me le procurer), mais je n'ai malheureusement pas trop de temps actuellement. Proz 18 novembre 2007 à 22:28 (CET)
J'ai Bourbaki et je confirme : ce qu'ils appellent "langage formalisé" est bien un langage du 1er ordre - Michel421 18 novembre 2007 à 23:44 (CET)
Je vous donne la citation de Wiener (p. 193 de son autobiographie Ex-prodigy). Après avoir expliqué qu'il avait écrit, en 1913 quand il était à Cambridge, un article qui concluait contre le point de vue de Russell que les systèmes logiques doivent par essence être incomplets, il écrit:
  • Mon hérésie de cette époque a été confirmée par le travail postérieur de Gödel qui a montré que dans n'importe quel système logique il y a des questions qui ne peuvent pas recevoir de réponse positive à partir des postulats. C'est-à-dire que si une réponse est cohérente vis-à-vis des postulats, la réponse opposée est également cohérente vis-à-vis d'eux.Pierre de Lyon (d) 21 novembre 2007 à 22:51 (CET)
N'importe quel système logique il a bien écrit ça ?? Quand Wiener a fait son autobiographie, Gödel n'avait pas produit que des théorèmes d'incomplétude, aussi des théorèmes de complétude. - Michel421 (d) 21 novembre 2007 à 23:25 (CET)
Je ne suis pas certain de la justesse de la traduction, en anglais il écrit : « within any system of logical postulates ».Pierre de Lyon (d) 23 novembre 2007 à 10:43 (CET)

[modifier] Critique de l'article

J'ai l'impression que l'article est écrit dans une perspective "histoire des fondements de maths", voire "histoire des maths", et pas histoire de la logique (par ex. je ne crois pas qu'Euclide parle vraiment de logique encore moins qu'il l'ait formalisée, les mégariens et les stoïciens méritent mieux ...). Il ya des choses sensées (le calcul infinitésimal ...) mais dites curieusement, on a l'impression que c'est pour placer le mot logique. Sur Le paragraphe "logique moderne", de ce que je connais de l'histoire, c'est à peu près n'importe quoi tout du long (par ex. la chronologie entre les travaux de Cantor et ceux de Hilbert est inversée !, le paradoxe du menteur date des grecs ...). Au XVIII eme Leibniz qui me semble le personnage le plus important sur le sujet (dont se réclament les fondateurs de la logique moderne) n'est même pas mentionné comme logicien. A mon avis de Vinci n'a pas grand chose à voir avec l'histoire de la logique. Parler de logique mathématique avant le XXème siècle c'est complètement anachronique (je ne sais même pas ce que ça veut dire d'ailleurs) ... Au XIXème, rien sur Boole, Peirce ... Il ne faut pas hésiter à tout reprendre, bien-sûr la critique est plus facile : ça demande du boulot ... mais on peut au moins dire que ça ne parle quasiment pas de l'histoire de la logique ... Proz 10 novembre 2007 à 00:14 (CET)

Tout-à-fait d'accord. Maintenant, peut-on essayer de trouver une ligne directrice ? Y a-t-il des filiations ou tout au moins des fils historiques? - Michel421 10 novembre 2007 à 12:07 (CET)
Tout n'est pas à jeter. D'autre part, le plan qui consiste à considérer les grands courants liés à des bassins géographiques me parait acceptable. C'est peut-être le contenu qui l'est moins. En ce qui concerne, je ne suis pas favorable à une vision gréco-centrée des choses, ce qui est souvent un travers de ce genre d'articles. En gros, on dit « les Grecs ont tout inventé et ils ne communiquait pas avec le reste du monde ». Pierre de Lyon 10 novembre 2007 à 19:27 (CET)

J'y suis peut-être allé un peu fort, je ne dis pas pour le plan (découpage géographique et chronologique, ceci dit), je n'y connais rien du tout pour ce qui est de la logique en chine, en inde et dans le monde islamique. Mais il m'est arrivé d'ouvrir un bouquin d'histoire de la logique (Kneale and Kneale par ex.), et là franchement je ne reconnais pas grand chose. Proz 11 novembre 2007 à 16:33 (CET)

Sur le principe, évidemment que je serais d'accord pour éviter l'occidento-centrage. Le pb est qu'historiquement les contributions les plus notoires (du point de vue des logiciens) sont venues des aires hellénique et germanique. Ailleurs c'est très difficile de trouver des références solides. Elles existent sûrement. Peut-être les wikipédiens du secteur histoire-géo-civilisations pourraient donner un coup de main? - Michel421 11 novembre 2007 à 18:59 (CET)

(Je repositionne les décalages, qui ont été perturbés de ma faute). Je dirais qu'il ne faut pas hésiter à tout effacer dans "période classique" (hors sujet constant), et très sérieusement reprendre le reste (antiquité grecque, moyen âge, logique moderne et contemporaine). Fil historique : je crois comprendre que, pour la partie histoire occidentale, l'influence d'Aristote est essentielle jusqu'au XIXeme (y compris une bonne partie de celui-ci), et les rapports avec les démonstrations mathématiques (qui ne commencent pas à Euclide) aussi. Maintenant il faut lire et donc du temps pour faire ça sérieusement (pour moi, vu mes connaissances actuelles, en tout cas) ... Je signale un autre (gros !) ouvrage de référence, assez connu :

  • William Kneale and Martha Kneale The Development of Logic Oxford University Press (1962, 1984).

J'hésite à le mettre tout de suite, vu que le contenu actuel de l'article n'a pas grand rapport. Proz 12 novembre 2007 à 01:44 (CET)

Je veux bien servir de lecteur, mais de contributeur principal. Pierre de Lyon 13 novembre 2007 à 22:08 (CET)