Hiérarchie de Borel

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[modifier] Définition des ensembles de Borel

Une algèbre sur un ensemble $X$ est une collection $\mathcal{A}$ de sous-ensembles de $X$ vérifiant les conditions suivantes:

$X\in \mathcal{A}$
Si $A\in \mathcal{A}$ , alors $A^c\in \mathcal{A}$
Toute union finie d'éléments de $\mathcal{A}$ appartient à $\mathcal{A}$ .

Remarquer que $\varnothing \in \mathcal{A}$ pour toute algèbre $\mathcal{A}$ . Une algèbre $\mathcal{A}$ telle que toute union dénombrable d'éléments de $\mathcal{A}$ appartient à $\mathcal{A}$ est appelée une $σ$ -algèbre.

Il est facile de voir que l'intersection d'une famille non-vide de $σ$ -algèbres sur $X$ est une $σ$ -algèbre. Cette constatation permet la définition suivante. Soit $\mathcal{G}$ une famille de sous-ensembles de $X$ . Soit $\mathcal{S}$ l'ensemble des $σ$ -algèbres sur $X$ contenant $\mathcal{G}$ . Noter que $\mathcal{S}$ est non-vide car la $σ$ -algèbre $\mathcal{P}(X)$ contient trivialement $\mathcal{G}$ . On appelle $σ$ -algèbre engendrée par $\mathcal{G}$ l'intersection de tous les membres de $\mathcal{S}$ .

Soit $(X,\mathcal{T})$ un espace topologique métrisable. On appelle $σ$ -algèbre des Boréliens sur X la $σ$ -algèbre engendrée par $\mathcal{T}$ . Elle est notée $\mathcal{B}_X$ . Un membre de la $σ$ -algèbre des Boréliens est appelé un borélien ou ensemble de Borel.

[modifier] Hiérarchie des Boréliens

Soit $\mathcal{F}$ une famille de sous-ensembles d'un ensemble $\quad X$ . On note $\mathcal{F}_{\delta}$ l'ensembles des unions dénombrables d'éléments de $\mathcal{F}$ :

$\mathcal{F}_{\delta} = \bigg\{ \bigcup_{n\in \N} A_n \mid (A_n)_{n\in \N} \subset \mathcal{F}\bigg\}.$

On note également par $\mathcal{F}_{\sigma}$ l'ensemble des intersections dénombrables de $\mathcal{F}$ :

$\mathcal{F}_{\sigma} = \bigg\{\bigcap_{n\in \N} A_n \mid (A_n)_{n\in \N} \subset \mathcal{F}\bigg\}.$

On désigne finalement par $\neg \mathcal{F}$ l'ensemble des compléments dans $\quad X$ des éléments de $\mathcal{F}$ :

$\neg \mathcal{F} = \{ A\subset X \mid X\backslash A \subset \mathcal{F} \}.$

Soit un espace topologique $(X,\mathcal{T})$ . Notons de la manière suivante les ouverts et les fermés de $\quad X$ :

$\Sigma_1^0(X)=\mathcal{T},$

$\Pi_1^0(X)=\neg \mathcal{T}.$

Puis pour chaque ordinal $α$ , $1 < α < ω 1$ , on définit alors les familles d'ensembles suivants par induction transfinie:

$\Sigma_{\alpha}^0(X)=(\bigcup_{\beta<\alpha} \Pi_{\beta}^0(X))_{\sigma},$

$\Pi_{\alpha}^0(X)=(\bigcup_{\beta<\alpha} \Sigma_{\beta}^0(X))_{\delta}.$

Finalement pour chaque ordinal $α$ , $1 \leq \alpha < \omega_1$ , on définit:

$\Delta_{\alpha}^0 = \Sigma_{\alpha}^0 \bigcup \Pi_{\alpha}^0.$

Notons que $\Delta_{\alpha}^0$ est la famille des ensembles de $\quad X$ qui sont à la fois ouverts et fermés pour la topologie $\mathcal{T}$ . S'il n'y a pas d'ambiguïté, ou si un résultat est valable pour tout espace topologique $(X,\mathcal{T})$ , on note parfois $\Sigma_{\alpha}^0$ , $\Pi_{\alpha}^0$ et $\Delta_{\alpha}^0$ au lieu de $\Sigma_{\alpha}^0(X)$ , $\Pi_{\alpha}^0(X)$ et $\Delta_{\alpha}^0(X)$ . Les familles $\Sigma_{\alpha}^0$ , $\Pi_{\alpha}^0$ et $\Delta_{\alpha}^0$ sont appelées les classes additives, multiplicatives et ambiguës. Ces familles d'ensembles vérifient les propriétés élémentaires suivantes.

Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables.
Pour tout ordinal $α$ , $1\leq \alpha < \omega_1$ , $\Pi_{\alpha}^0 = \neg \Sigma_{\alpha}^0$ , ou de manière équivalente $\Sigma_{\alpha}^0 = \neg \Pi_{\alpha}^0.$
Pour tout ordinal $α$ , $1\leq \alpha < \omega_1$ , $\Delta_{\alpha}^0$ est une algèbre.

On montre alors que:

$\mathcal{B}_X = \bigcup_{1\leq \alpha < \omega_1} \Sigma_{\alpha}^0 = \bigcup_{1\leq \alpha < \omega_1} \Pi_{\alpha}^0 = \bigcup_{1\leq \alpha < \omega_1} \Delta_{\alpha}^0 .$