Discuter:Géométrie algébrique

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[modifier] Commentaires

Le plan que je propose :

1) Introduire la géométrie algébrique via l'étude des coniques. Faire sentir quelques problèmes des variétés algébriques réelles.

2) Parler des variétés affines et des ensembles algébriques.

3) Introduire la notion de schémas et illustrer par l'exemple du projectif. Insister sur la topologie.

4) Evoquer le théorème GAGA en ouverture.

Que fait-on avec la courte partie Histoire ? Je pense que le mieux est d'inclure des notes historiques dans chaque partie car précisément l'approche sémantique que je propose ici suit l'approche historique ; cette solution de moindre effort me semble la plus facile à écrire ? Qu'en pensez-vous tous ?

Ektoplastor, le 11 Août, 09:30

pour (1) je verrais plutôt se servir du thm de Bezout pour faire sentir les questions de comptage et la nécessité de se placer dans un cadre bien adapté (ça peut se faire avec des coniques d'ailleurs)Peps 11 août 2006 à 23:05 (CEST)

La principale question était de savoir si tu étais d'accord avec cette approche de la géométrie algébrique (dont je connais peu de choses). Ektoplastor, même jour, 23:17

comme j'en connais peut-être encore moins, ça me va très bien :) Peps 12 août 2006 à 14:07 (CEST)

Très bien, j'attends donc des avis supplémentaires sur la question. Ektoplastor, même jour, 17:28

[modifier] Quelques réflexions sur cet article

Le plan proposé par Ekto me semble pas mal.

• A mon avis, un point sur lequel il faut insister est que la géométrie algébrique ne fait intervenir que les 4 opérations algébriques : (+,-,/,x). D'ailleurs, à ce propos, cette géométrie s'appelle ainsi ("algébrique") non pas car elle utilise intivement de grosses machineries algébriques mais car les fonctions ne font intervenir que les 4 opérations.

Bonne remarque.

• Ainsi, de ce point de vue, cette géométrie est parmi les plus simples ! Cependant, je crois que les gens s'en forment généralement une image plus complexe. Un aspect important de l'article serait donc de commencer par une batterie d'exemples simples : point, droites, plans, paraboles, hyperboles, cercles, ellipses, paraboloïdes, etc. avec plein de jolis dessins.

Il y a un article qui y est consacré. Je pense qu'il ne faut pas non plus s'éterniser sur ces notions. J'opte pour une gallerie d'images pas trop grosses, ce qui me semble être un bon compromis.

• Ainsi, on insiste sur le fait qu'en géométrie algébrique on travaille avec des objets très simples ! Le prix à payer c'est que certains objets plus complexes ne peuvent être étudiés par la géométrie algébrique. L'avantage, c'est qu'en se restreignant à ces objets simples, on a des propriétés fortes. Exemple : le théorème de Bezout, qui est faux si on considère les courbes C^1 (on n'a pas de degré de toutes façons) au lieu de considérer les courbes algébriques

Vendu.

• Quant aux recollement, à mon avis, il y a une erreur : pas besoin des schémas pour faire des recollements. Les schémas sont en revanche nécessaire pour travailler au-dessus de corps non forcément algébriquement clos.
• Un aspect important, donc, de la géométrie algébrique, c'est qu'elle possible au-dessus de tout corps ; pour les non-initiés : on n'a pas besoin d'avoir des vrais nombre, il suffit d'avoir un ensemble muni de 4 opérations abstraites.
• Un exemple qu'il faut absolument donner et dessiner : la courbe F_n de Fermat : z^n=y^n+x^n. Le lien entre la géométrie algébrique et l'arithmétique apparaît. Il n'est pas difficile de montrer d'ailleurs que le grand théorème de Fermat est vrai ssi F_n n'a pas de point rationnel non-trivial.

Vendu, à condition de bien introduit la notion de point rationnel dans l'article (attention, l'article doit être le plus accessible possible sans pour autant dénaturer les mathématiques).

• Les recollements pourquoi pas ? Mais, c'est un procédé général pour toutes les variétés et je ne pense pas que ce soit le point le plus important.

Je pensais pour le projectif où le recollement entre deux espaces affines se comprend assez bien.

• En revanche, les grassmaniennes, oui ! Le fait qu'on a une notion de dimension : oui ! On peut présenter un exemple marrant. On part de X variété algébrique. On veut savoir s'il y a une droite qui est tangente à deux points distincts. On plonge X dans un P^n. Puis on étudie X x Xx P(P^n). On regarde la sous-variété (P,Q,D) qui vérifie les équations P,Q \in X et D tangente à X en P et Q. On regarde ensuite si cette variété est vide ou non. (par exemple avec le Nullstellensatz).

L'exemple peut être marrant, mais peut-être pas à citer dans cet article. (Voir par exemple, le programme d'Erlangen que j'ai repris récemment mais où traine maintenant un exemple marant dont je ne sais pas quoi faire !).

• Autre chose, très importante : créer dès maintenant un article histoire de la géométrie algébrique car c'est immense et très étudié.

En fait, dans la plupart des articles, la section histoire est naturellement incluse : géométrie euclidienne, variété (géométrie) et géoémtrie symplectique de mémoire, mais bon, c'est monnaie courante. Je ne pense pas que tu puisses réellement justifier ton choix, même si l'option est toujours plaisante.

• Sinon, évidemment c'est important pour un sujet aussi vaste de ne pas rentrer dans les détails, en particulier technique, de rester général et philosophique, pour faire sentir quels sont son principe, sa teneur, ses problèmes, etc.

Général, oui, mais évitons les conceptions philosophiques !

Colas 13 août 2006 à 19:01 (CEST)

Peux-tu commencer à préparer le terrain ?

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