Formule de Binet-Cauchy

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En algèbre linéaire, la formule de Binet-Cauchy généralise la propriété de multiplicativité du déterminant d'un produit au cas de deux matrices rectangulaires. On peut l'écrire pour des matrices dont les coefficients sont dans un corps, ou plus généralement dans un anneau commutatif.

[modifier] Énoncé

Pour pouvoir effectuer le produit des matrices A et B, on suppose qu'elles sont de tailles respectives m par n et n par m. La formule de Binet-Cauchy s'énonce alors

$\det(AB) = \sum_S \det(A_S)\det(B_S)\,$

dans cette expression S décrit les différents sous-ensembles à m éléments de l'ensemble { 1, ..., n }. Pour chaque S, la matrice A_S est la matrice de taille m obtenue en ne retenant que les colonnes de A dont l'indice appartient à S. De même B_S est la matrice de taille m obtenue en ne retenant que les lignes de B dont l'indice appartient à S.

Dans le cas où m=n, les matrices A et B sont carrées, il y a un seul terme dans la formule de Binet-Cauchy, qui redonne bien la propriété de multiplicativité des déterminants.

Si m > n, il n'y a pas d'ensemble S convenable et le déterminant de AB est nul, selon les conventions usuelles sur les sommes vides.

Si m < n, la formule demande d'effectuer la somme de $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ termes.

On peut écrire une forme plus générale de la formule de Binet-Cauchy pour les mineurs d'une matrice.

[modifier] Démonstration

On écrit A sous forme d'une liste de colonnes : A₁,..,A_n, et B en détaillant tous les coefficients. Le déterminant du produit AB est donc, en colonnes, de la forme

$\det(AB)=\det\left( \sum_{{j_1}=1}^n b_{{j_1}1} A_{j_1} ,\dots, \sum_{{j_m}=1}^n b_{{j_m}m} A_{j_m}\right)$

Il faut exploiter la multilinéarité du déterminant, et rassembler les termes correspondant au même det(A_S) en utilisant le caractère alterné. Le coefficient devant det(A_S) est identifié à det(B_S) en reconnaissant la formule de Leibniz.

Cette preuve peut être utilisée pour établir la propriété de produit des déterminants (une version plus géométrique a été établie dans l'article déterminant).

[modifier] Interprétation euclidienne

Si A est une matrice réelle de taille m par n, alors le déterminant de la matrice A ^tA est égal au carré du volume m-dimensionnel du parallélotope engendré dans $\mathbb{R}^n$ par les m colonnes de A.

La formule de Binet-Cauchy montre que cette quantité est égale à la somme des carrés des volumes des projections orthogonales sur les différents sous-espaces de coordonnées de dimension m (qui sont au nombre de $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ ).

Dans le cas m=1, ces projections orthogonales sont des segments, et on retrouve une forme du théorème de Pythagore.