Formulaire d'optique

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Sommaire

[modifier] Loi de Snell-Descartes

Si la lumière vient d'en haut: n_2\cdot \sin i_2 = n_1 \cdot \sin i_1 entraine

i_2 = \arcsin \left ( \frac{n_1}{n_2} \cdot \sin(i_1) \right ) ;

En sens inverse,si la lumière vient d'en bas: tant que i2 ne dépasse pas l'angle i_{2max}=\lambda = \arcsin \left ( \frac{n_1}{n_2} \cdot \right ) on a de la réfraction et on peut écrire : i_1 = \arcsin \left ( \frac{n_2}{n_1} \cdot \sin(i_2) \right ) ; si i2>i2max, alors on a de la réflexion totale.

[modifier] Formules du dioptre sphérique

On montre que la relation sur les angles peut aux petits angles, c'est-à-dire dans des conditions de stigmatisme approché, s'écrire:

\frac{n_1.CA_1}{SA_1}= \frac{n_2.CA_2}{SA_2}
\frac{n_1.(a_1-c)}{(a_1-s)}= \frac{n_2.(a_2-c)}{(a_2-s)}

ce que l'on peut écrire après un peu d'algèbre :

\frac{n_1}{(a_1-s)}- \frac{n_2}{(a_2-s)}=\frac{n_1-n_2}{(c-s)}

et en prenant comme origine le point S : ce qui revient à prendre s=0

\frac{n_1}{a_1}- \frac{n_2}{a_2}=\frac{n_1-n_2}{c}

et en utilisant comme notation xo = a1, xi=a2, fo=n1 c/(n1-n2)et fi= - n2 c /(n1-n2):

x_i = \frac {f_i*x_o}{(x_o-f_o)} et de même:
y_i = \frac {-f_o*y_o}{(x_o-f_o)}

[modifier] Construction géométrique

[modifier] lentille

\frac{n_1}{a_1} - \frac{n_2}{a_2}=\frac{n_1-n_2}{c_1}

et au deuxième dioptre

\frac{n_2}{a_2} - \frac{n_3}{a_3}=\frac{n_2-n_3}{c_2}

En additionnant ces deux formules :

\frac{n_1}{a_1}- \frac{n_3}{a_3}=\frac{n_1-n_2}{c_1}+\frac{n_2-n_3}{c_2}

on obtient la formule des lentilles.

Si les milieux 1 et 3 sont de l'air, d'indice 1 (approxmativement), la formule se simplifie :

\frac{1}{a_1}- \frac{1}{a_3}=\frac{1-n}{c_1}+\frac{n-1}{c_2}=\frac{1}{f}

où

  • a1 et a3 sont les abscisses de l'objet et de l'image après passage des deux dioptres qui constituent la lentille mince,
  • f est l'abscisse du foyer objet et
  • f′ = - f est l'abscisse du foyer image.

On trouve aussi comme notation dans les pays anglo-saxons :

  • fo l'abscisse du foyer objet,
  • fi= - fo est l'abscisse du foyer image,

Si xo et xi sont les abscisses de l'objet et de l'image, alors

\frac{1}{x_o}- \frac{1}{x_i}=\frac{1-n}{c_1}+\frac{n-1}{c_2}=\frac{1}{f_o}=\frac{-1}{f_i}

c'est la formule dite de Descartes, qui avec deux lignes d'algèbre s'écrit :

(x_i - f_i)= \frac {f_i \times f_o}{(x_o-f_o)}

formule dite de Newton

On a

x_i = \frac {f_i \times f_o}{(x_o-f_o)} + f_i

et donc

x_i = \frac {f_i \times x_o}{(x_o-f_o)} et de même: y_i = \frac {-f_o \times y_o}{(x_o-f_o)}

[modifier] Relation de conjugaison d'une lentille mince