Fonction simple

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Une fonction simple sur un ensemble E est une fonction numérique qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs i.e l'ensemble f(E) est fini.

[modifier] Caractérisation des fonctions simples

Les fonctions simples sont les combinaisons linéaires d'indicatrices. En effet, supposons que f=\sum_{k=1}^N \lambda_k 1_{A_k}, on a f(E)\subset \{ f=\sum_{k=1}^N1_{A_k}\epsilon_k ~~| \epsilon_k \in \{ 0 ,1 \}^{ \{1,...,N \}} \}

Supposons que F(E) est fini et notons a1,...aN les valeurs non nulles de f, on pose Aj = f − 1(aj) alors les ensembles A1,....,AN sont 2 à 2 disjoints et on a f=\sum_{k=1}^N \lambda_k 1_{A_k}