Fonction presque périodique
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En mathématiques, une fonction presque périodique (au sens de Harald Bohr) est une application dont les propriétés ressemblent à celles d'une fonction périodique.
[modifier] Définition
Soit une fonction et soit . Un réel non nul T est appelé une -presque période de f si et seulement si :
On note l'ensemble des -presque périodes de f. La fonction f est dite presque périodique si l'ensemble est bien réparti pour tout , c'est-à-dire que pour tout , il existe un réel , tel que tout intervalle de longueur a une intersection non nulle avec .
Par exemple, la fonction est presque périodique (bien qu'elle ne soit pas périodique).
[modifier] Propriétés
- Si f et g sont deux fonctions presque périodiques, alors les fonctions f + g et fg le sont aussi (contrairement aux apparences, ce résultat n'est pas trivial).
- Une fonction périodique et continue est presque périodique.
- Toute fonction presque périodique est bornée.
- Toute fonction presque périodique est uniformément continue.
- Si f est une fonction presque périodique et F est une fonction uniformément continue, alors est une fonction presque périodique.
- Si une suite de fonctions presque périodiques converge uniformément vers une fonction f, alors f est presque périodique.
- Théorème de Stone-Weierstrass pour les fonctions presque périodiques : l'ensemble des fonctions presque périodiques est l'adhérence, dans l'espace des fonctions continues bornées de , de l'ensemble .
Il existe une théorie plus complète donnée par Besicovitch.
[modifier] Références bibliographiques
- A.S. Besicovitch, Almost periodic functions, Dover, Cambridge, 1954.
- Favard, Leçons sur les fonctions presque-périodiques, Gauthiers-Villars, Paris, 1933.