Fonction êta de Dedekind

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La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire positive. Pour chaque nombre complexe τ dans cet ensemble, on définit q = e2iπτ et la fonction êta est alors

\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})

La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.

La fonction êta vérifie les équations fonctionnelles :

η(τ + 1) = exp(2πi / 24)η(τ)
\eta(-1/\tau) = \sqrt {-i\tau} \eta(\tau)

Plus généralement,

\eta \left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d} \right) = \epsilon (a,b,c,d) \left( -i(c\tau+d) \right)^{1/2} \eta(z)

où a,b,c,d sont des entiers tels que ad-bc=1, qui sont donc associés à une transformation appartenant au groupe modulaire, et

\epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left( \frac{a+d}{12c} + s(-d,c) \right)

où s(h,k) est la somme de Dedekind

s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \frac{hn}{k} - \left\lfloor \frac{hn}{k} \right\rfloor -\frac{1}{2} \right)

A cause des équations fonctionnelles, la fonction êta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s' en servir pour définir d'autres formes modulaires. En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass peut être défini comme

Δ(τ) = (2π)12η(τ)24.

La fonction Δ est une forme modulaire de poids 12. Comme la fonction êta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions êta. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.

[modifier] Références